递归的思考
本菜鸡终于开始学算法了，最近遇到递归的问题感觉难以理解，在这里写一些作题的错处与相关的总结
**递归的总体思维：**
1.找到停止递归的条件
2.找到每一层递归之间的联系
> 问题1：**将多层循环简化**
> 找出从自然数1 、 2、……、m中任取k 个数的所有组合。 例如m=5，k=3
> 案例：输入5 3 的时候
> 5 3
5 4 3
5 4 2
5 4 1
5 3 2
5 3 1
5 2 1
4 3 2
4 3 1
4 2 1
3 2 1
分析：
这个问题如果暴力枚举的话，是要用多重循环的，每一列对应一层循环，但是复杂度很大——————>简化：其实每一层的循环都是**相似处理方法**的循环，**每一层之间也有一定的联系**。
在这个问题中:
停止递归的条件是：当已经找到了k个数字的时候（这一步可以用计数器来进行记录）
每一层之间的关系： 第一个数确定的时候，后面的数确定就转化为从k-1个数里找m-1个数的组合----------------->这是递归所体现出来的问题规模缩小
每一层的输出：*当计数器计数到k的时候，终会输出，我们需要输出的数据：之前前面几层留存的数据，但是在递归过程中难以传递，——————》可以另外设置一个数组，做记忆的作用
#include <iostream>
typedef long long ll;
using namespace std;
int n,k,ans[100];//把第cur个数字储存起来
void print()
{
for(int i=1;i<=k;i++)
cout<<ans[i]<<' ';
cout<<endl;
}
void dfs(int x,int cur)/*ra表示范围是1->x，cur表示他是第几个数*/
{
int i;
if(cur==k+1) //在cur更新到k的时候循环相应次数并且输出
print();
for(i=x;i>=1;i--) /*每次进入循环总是递归到最小的一位开始输出*/
{
ans[cur]=i;
dfs(i-1,cur+1); //每次进入一个不是末位的数字都要进行一轮循环
}
}
此处我自己对这个地方的递归算法一开始想不通的
1.为什么递归函数入口放在for循环里面----
在思路里提到过，其实这是一个多重循环，当需要进入递归入口，也就意味着还没到最里层的循环（最里层的函数循环结束之后，就会处处相应的结果啦！！），所以在for里面放递归函数，意味着 每进入一个新的递归函数，就进入了一层新的循环(这也是为什么结束条件是循环到第k数的时候）
2.当一次递归走到结束之后，发生什么？
由于递归函数是在for循环里面的，进入递归函数意味着在这一层函数的这一个i，这一次执行的过程中发生递归，（如果条件允许他可能这一层的每个i都会进入递归）
当一层递归走到结束的时候，会返回到上一层循环，并且继续循环
2.整数分解
输出一个正整数n的所有整数和形式。如n=4
3
3=3
3=2+1
3=1+2
3=1+1+1
分析：这道题是上一道题的一个升级，各层之间的关系与其递归的思想体现在：确定第一个数i之后，剩下的问题就是把n-i分解（问题规模缩小）
此处要停止递归的条件：没东西可以分了，rest==0；
#include <iostream>
typedef long long ll;
using namespace std;
int n,rest,bit,store[100];
void print()
{
int i=0;
cout<<n<<'=';
while(store[i]!=0)
{
cout<<store[i];
if(store[i+1]!=0)
cout<<'+';
i++;
}
cout<<endl;
}
//每一位就是一个拆分的循环
void dfs(int rest,int bit) //由于是整数拆分，每次进入递归循环应该都是用rest
{
int i;
for(i=rest;i>=1;i--)
{
store[bit]=i； //储存该位
if(rest-i==0) //先写结束条件,单层循环里面（for）rest的值不会更新，所以一点过
{store[i+1]=0； //设置输出断点
print();
else dfs(rest-i,bit+1);//更新rest和bit的值,不要写成bit++的形式，只是传入值的副本变了
}
// return 0;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
cin>>n;
rest=n;
dfs(n,0);
return 0;
}
出现的问题：
这个代码写了超级久（T_T）
问题1：使用了if（rest==0)为结束条件，错误想法：没东西可分，也就是rest==0，我的输出函数使用的是while循环，即使此处不结束，在调用dfs之后rest为0也会结束
纠正：注意for循环的进入条件：注意递归函数进入条件和输出条件都在for循环里，rest==0，根本无法进入for循环，且多进一层递归函数会导致空间的浪费，记录一位就要检验一次rest还能不能分解
问题2：在递归函数调用的时候采用了bit++这样的形式传递数据，在一次最内层函数结束之后，跳转到倒数第二层的数组储存位置会出问题，本来应该从0开始，但递归被调了多少次，就离谱多少步
纠正：函数传递的是数据的副本，使用bit++或者++bit都会使得bit的值产生实际的变化
问题3:一开始没有设置断点，有些数字储存比较远但并没有被覆盖，在输出的时候会产生错
解决：1.增加断点
2.输出的时候获得应输出的长度（bit）用for循环控制输出
问题升级！！：不能输出重复的，比如4=3+1之后不可以输出4=1+3
问题分析：在进入新一轮的循环中，我们要比上一轮确定的数字相等或者小
代码改写：
void dfs(int pre,int rest,int bit) //由于是整数拆分，每次进入递归循环应该都是用rest
{
int i;
for(i=pre;i>=1;i--) //向下传递一个目前函数状态的参数
{
if(rest-i<0) continue; //要保证rest-i不小于0，只有i很大的时候才会<0,所以coutine可以使得i不断减小，直到合适的值
store[bit]=i;
//if(bit>0&&store[bit]>store[bit-1]) continue;
if(rest-i==0) //先写结束条件,单层循环里面（for）rest的值不会更新，所以一点过
store[bit+1]=0,
print();
else dfs(i,rest-i,bit+1);//更新rest和bit的值,不要写成bit++的形式，只是传入值的副本变了
}
