二分

一、整数集合上的二分

1. 具体问题具体分析，左右半段哪个是可行区间，以及mid归属哪一半
2. 根据分析结果，选择一个配套形式
   1. \(r=mid,l=mid+1,mid=(l+r)/2\)
   2. \(l=mid,r=mid-1,mid=(l+r+1)/2\)
3. 二分终止条件 \(l==r\)

例题：

1. 单调递增序列a找到 >=x 的数中最小的一个(即x或x的后继)

while(l<r){
	int mid = (l+r)/2;
	if(a[mid]>=x) r = mid;
	else l = mid+1;
}
return a[l];

2. 单调递增序列a找到 <=x 的数中最大的一个(即x或x的前驱)

while(l<r){
	int mid = (l+r+1)/2;
	if(a[mid]<=x) l = mid;
	else r = mid-1;
}
return a[l];

tip:

STL lower_bound和upper_bound:非降序序列中二分查找x的后继

//lower_bound(二分初始地址，二分结尾地址，要查找的x) 第一次出现大于等于x的地址
//upper_bound(二分初始地址，二分结尾地址，要查找的x) 第一次出现大于x的地址

int a[10]={1,1,1,3,3,5,5,5,5,6};
cout<<k<<"的第一个大于等于它的位置在"<<((lower_bound(a,a+n,k))-a)+1<<endl;
cout<<k<<"的第一个大于它的位置在"<<((upper_bound(a,a+n,k))-a)+1<<endl;

二、实数域上的二分

1. 确定精度 一般保留k位小数 取 \(eps=10^{-(k+2)}\)

while(l + 1e-5 <r){
  double mid = (l+r)/2;
  if(calc(mid)) r = mid;else l = mid;
}

2. 精度不容易确定，采取循环固定次数的二分方法，这种方法得到的精度往往比设置eps高

for(int i=0;i<100;i++){
	double mid = (l+r)/2;
	if(calc(mid)) r = mid;else l = mid;
}

三、三分求单峰函数极值

1. 单峰函数：拥有唯一的极大值点，在极大值点左侧严格单调上升，右侧严格单调下降

   单谷函数：拥有唯一的极小值点，在极小值点左侧严格单调下降，左侧严格单调上升

2. 单峰函数为例：在定义域[l,r]上任取两个点lmid,rmid

\[\begin{cases} f(lmid)>f(rmid) 极大值点在rmid左侧 r=rmid\\ f(lmid)<f(rmid) 极大值点在lmid右侧 l=lmid\\ f(lmid)=f(rmid) 无法判断，强调严格单调 \end{cases} \]

​ tip: 1. 函数存在一段相等的部分，三分法不再适用

​ 2. 定义域范围每次缩小1/3

四、二分答案转化为判定

1. 把求最优解转化为给定一个值mid,判定是否存在一个可行评分达到mid的问题。

例题：

1. N本书排成一行，已知第i本的厚度是Ai。把它们分成连续的M组，使T最小化。T表示厚度之和最大的一组的厚度。

分析：

定义域：把书划分成M组的方案

值域（评分标准）：厚度之和最大的一组的厚度

假设最终答案为S ：每组<S，分不完，不存在可行的分数方案；每组>S，一定存在一种分数方案使组数不超过M。

分界点：分书可行性。

题解：

#include<iostream>
using namespace std;

int n,m;
int a[50];

//把n本书分m组，每组厚度之和<=size，是否可行
bool valid(int size){
  int group=1,rest = size;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    if(rest>=a[i]) rest-=a[i];
    else {group++,rest = size-a[i];}
  }
  return group<=m;
}

//判定每组厚度之和不超过二分的值时，是否可行
int main(){
  cin>>n>>m;
  
  int r=0;  
  for(int i=0;i<n;i++){
    cin>>a[i];
    r+=a[i];
  }
	int l=0; //区间0-sum_of_ai
  while(l<r){
    int mid = (l+r)/2;
    if(valid(mid)) r = mid; else l = mid +1;
  }
  cout<<l<<endl;
}

2. Best Cow Fences(PO2018)

   农夫约翰的农场由一长排N (1 <= N <= 100,000)块地组成。每个土地包含一定数量的奶牛，1 <= ncows <= 2000。想要在一组相邻的牧场周围建一个篱笆，以便最大化该组内每块牧场的平均奶牛数量。每组必须包含至少F (1 <= F <= N)土地，其中F作为输入。在给定约束条件下，计算使平均值最大化的栅栏位置。

   输入输出格式：

   输入：第一行输入N，F，接下来每一行输入每个土地的奶牛数。

   输出：一个整数，它是最大平均值的1000倍。不执行四舍五入，只打印1000*ncows/nfields的整数。

   输入样例：
   10 6
   6
   4
   2
   10
   3
   8
   5
   9
   4
   1

   输出样例：
   6500

   大意：给定正整数数列A，求一个平均数最大的、长度不小于L的子段。

   分析：

   判定：是否存在一个长度不小于L,平均数不小于二分的值

   前缀和求解一个字段长度不小于L，和最大

   题解： 这题容易TLE,注意精度选择和区间缩小

   #include<iostream>
   using namespace std;
   
   double a[100001],b[1000001],sum[100001];
   
   int main(){
   	int N,L;
   	cin>>N>>L;
   	double l = 1e9,r = 0;
   	for(int i=1;i<=N;i++){
   		cin>>a[i];
   		l = min(l,a[i]);
   		r = max(r,a[i]);  
   	}
   
   	double eps = 1e-4;
   	
   
   	while(r-l>eps){
   		double mid = (l+r)/2;
   		for(int i=1;i<=N;i++) b[i] = a[i] - mid;  //减去二分值 求字段和非负
   		for(int i=1;i<=N;i++) sum[i] = sum[i-1]+b[i];//前缀和思想
   
   		double ans = -1e10;
   		double min_val = 1e10;
   		for(int i=L;i<=N;i++){
   			min_val = min(min_val,sum[i-L]);   
   			ans = max(ans,sum[i] - min_val);
   		}
   
   		if(ans>=0) l = mid;
   		else r = mid;
   	}
   	cout<< int(r*1000)<<endl;
   	return 0;
   }