1621：轻拍牛头

1621：轻拍牛头原题(嵌入代码可能效果不好，请点链接看原题)

【题目描述】
原题来自：USACO 2008 Dec. Silver

今天是贝茜的生日，为了庆祝自己的生日，贝茜邀你来玩一个游戏。

贝茜让 NN 头奶牛坐成一个圈。除了 11 号与 NN 号奶牛外，ii 号奶牛与 i−1i−1 号和 i+1i+1 号奶牛相邻，NN 号奶牛与 11 号奶牛相邻。农夫约翰用很多纸条装满了一个桶，每一张包含了一个 11 到 106106 的数字。

接着每一头奶牛 i 从桶中取出一张纸条 Ai ，每头奶牛轮流走一圈，同时拍打所有「编号是 AiAi 的约数」的牛，然后走回到原来的位置。牛们希望你帮助他们确定，每一头奶牛需要拍打的牛。

【输入】
第一行包含一个整数 NN；

接下来第二到第 N+1N+1 行每行包含一个整数 AiAi 。

【输出】
第一到第 N 行，第 i 行的输出表示第 i 头奶牛要拍打的牛数量。

【输入样例】
5
2
1
2
3
4
【输出样例】
2
0
2
1
3
【提示】
数据范围与提示：

对于全部数据，1≤N≤1051≤N≤105 。

【题意说明】

　　对这个题目的描述，我觉得有点描述不清。”每头奶牛轮流走一圈，同时拍打所有[编号是Ai的约数]的牛“这里的编号指向不明确，如果是最初的1-N编号，显然样例数据不符。因为2号奶牛拿的数字是1，那它至少应该拍1号奶牛，但样例输出是0。查看另一篇博文https://www.luogu.com.cn/problem/P2926，描述为”每头奶牛轮流走上一圈，同时拍打所有手上数字能整除在自己纸条上的数字的牛的头“，这个描述很清楚，也符合样例数据，以下内容均按后者理解。

【分析】

　　这个题目看起来并不难，判断一个数是否是另一个数的约数取余就可以了，要计算拍牛的次数，加一个计数器就OK。所以轻松搞定代码。

#include<iostream>
using namespace std;
int const N=1e6+5;
int a[N],ans[N],n; 
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)//枚举每一头牛 
        for(int j=1;j<=n;j++)//其他牛的编号是否为当前牛编号的约数 
            if(a[i]%a[j]==0)ans[i]++;
    for(int i=1;i<=n;i++)cout<<ans[i]-1<<endl;//ans[i]-1是要减去本身 
    return 0;
}

 

　　样例顺利通过，提交网站结果应该可以想到。这样都能通过是不是也太没水平了。简单算一个，对于百分之百的数据n<=10^5，一个双循环10^10，超时是必然的。

　　在之前一个题1619：用到了筛选法可以优化时间复杂度，那我们也可以考虑用筛选法优化。我们不用把每一个编号都去验证，只把当前编号的倍数标记一次。那么每一头牛的编号由原来的验证其余牛的时间复杂度n可降为最大编号值/当前编号值。代码实现

//1621：轻拍牛头 
#include<iostream>
using namespace std;
int const N=1e6+5;
int a[N],b[N],n,c[N],maxn=0; 
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        if(maxn<a[i])maxn=a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=a[i];j<=maxn;j+=a[i])
            b[j]++;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cout<<b[a[i]]-1<<endl;
    return 0;
}

　　再次提交，46分，其余超时。想想一下，这个题数据量达到10^5，输入和输出应该占时较大，所以cin/cout的效率让我们不得不放入考虑范围，换吧，scanf/printf的效率可以提高不少，在前面博文中也有提及，特别是1205题就是一个很好例子。得以下代码

//1621：轻拍牛头 
#include<cstdio>
int const N=1e6+5;
int a[N],b[N],n,maxn=0; 
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",a+i);
        if(maxn<a[i])maxn=a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=a[i];j<=maxn;j+=a[i])
            b[j]++;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%d\n",b[a[i]]-1);
    return 0;
}

　　再次提交，84分。这还能优化？必须啊，别人能过啊，那题肯定没问题啊。思考良久，想到一个地方：编号如果有重复，那我们验证时就会重复验证，特别编号又小，重复量再大一点，这一环节的效果更明显，再挤一挤吧。把重复项合并，只筛选一次就好。代码如下

//1621：轻拍牛头 
#include<cstdio>
int const N=1e6+5;
int a[N],b[N],c[N],d[N][2],cnt,n,maxn,x; 
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",a+i);
        c[a[i]]++;
        if(maxn<a[i])maxn=a[i];
    }
    for(int i=1;i<=maxn;i++)
        if(c[i])d[++cnt][0]=i,d[cnt][1]=c[i];
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        for(int j=d[i][0];j<=maxn;j+=d[i][0])
            b[j]+=d[i][1];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%d\n",b[a[i]]-1);
    return 0;
}

　　再次提交：100分。终于AC了！

如果大家有更好看法，欢迎评论！！！