希尔伯特23个问题及解决情况
希尔伯特23个问题及解决情况
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1900年希尔伯特应邀参加巴黎国际数学家大会并在会上作了题为《数学问题》重要演讲。在这具有历史意义的演讲中，首先他提出许多重要的思想：
正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新观点，达到更为广阔的自由的境界。
希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用，他指出：“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念，那就必须回顾一下当今科学提出的，希望在将来能够解决的问题。” 同时又指出：“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。”
他阐述了重大问题所具有的特点，好的问题应具有以下三个特征：
一、清晰性和易懂性；
二、虽困难但又给人以希望；
三、意义深远。
同时他分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法。就是在这次会议上他提出了在新世纪里数学家应努力去解决的23个问题，即著名的“希尔伯特23个问题”。
编号 问题 推动发展的领域 解决的情况
1 连续统假设 公理化集合论 1963年，Paul J.Cohen 在下述意义下证明了第一个问题是不可解的。即连续统假设的真伪不可能在Zermelo_Fraenkel公理系统内判定。
2 算术公理的相容性 数学基础 希尔伯特证明算术公理的相容性的设想，后来发展为系统的Hilbert计划（“元数学”或“证明论”）但1931年歌德尔的“不完备定理”指出了用“元数学”证明算术公理的相容性之不可能。数学的相容性问题至今未解决。
3 两等高等底的四面体体积之相等 几何基础 这问题很快（1900）即由希尔伯特的学生M.Dehn给出了肯定的解答。
4 直线作为两点间最短距离问题 几何基础 这一问题提得过于一般。希尔伯特之后，许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何，在研究第四问题上取得很大进展，但问题并未完全解决。
5 不要定义群的函数的可微性假设的李群概念 拓扑群论 经过漫长的努力，这个问题于1952年由Gleason, Montqomery , Zipping等人最后解决，答案是肯定的。
6 物理公理的数学处理 数学物理 在量子力学、热力学等领域，公理化方法已获得很大成功，但一般地说，公理化的物理意味着什么，仍是需要探讨的问题。概率论的公理化已由A.H.Konmoropob等人建立。
7 某些数的无理性与超越性 超越数论 1934年A.O.temohm 和Schneieder各自独立地解决了这问题的后半部分。
8 素数问题 数论 一般情况下的Riemann猜想至今仍是猜想。包括在第八问题中的Goldbach问题至今也未解决。中国数学家在这方面做了一系列出色的工作。
9 任意数域中最一般的互反律之证明 类域论 已由高木贞治(1921)和E.Artin(1927)解决.
10 Diophantius方程可解性的判别 不定分析 1970年由苏、美数学家证明Hilbert所期望的一般算法是不存在的。
11 系数为任意代数数的二次型 二次型理论 H.Hasse(1929)和C. L.Siegel(1936,1951)在这问题上获得了重要的结果。
12 Abel域上 kroneker定理推广到任意代数有理域。 复乘法理论 尚未解决。
13 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程。 方程论与实函数论 连续函数情形于1957年由苏数学家否定解决，如要求是解析函数，则问题仍未解决。
14 证明某类完全函数系的有限性 代数不变式理论 1958年永田雅宜给出了否定解决。
15 Schubert记数演算的严格基础 代数几何学 由于许多数学家的努力，Schubert演算的基础的纯代数处理已有可能，但Schubert演算的合理性仍待解决。至于代数几何的基础，已由B.L.Vander Waerden(1938-40)与 A.Weil(1950)建立。
16 代数曲线与曲面的拓扑 曲线与曲面的拓扑学、常微分方程的定性理论 问题的前半部分，近年来不断有重要结果。
17 正定形式的平方表示式 域（实域）论 已由Artin 于1926年解决。
18 由全等多面体构造空间 结晶体群理论 部分解决。
19 正则变分问题的解是否一定解析 椭圆型偏微分方程理论 这个问题在某种意义上已获解决。
20 一般边值问题 椭圆型偏微分方程理论 偏微分方程边值问题的研究正在蓬勃发展。
21 具有给定单值群的线性偏微分方程的存在性 线性常微分方程大范围理论 已由Hilbert本人（1905）年和 H.Rohrl(德，1957)解决。
22 解析关系的单值化 Riemann 曲面体 一个变数的情形已由 P.Koebe (德，1907)解决。
23 变分法的进一步发展 变分法 Hilbert本人和许多数学家对变分法的发展作出了重要的贡献。
纯粹数学与应用数学都是了解世界及其发展的主要钥匙之一。著名数学家华罗庚说： 研究科学最宝贵的精神之一，是创造的精神，是独立开辟荒原的精神，科学之所以得有 今日，多半是得利于这样的精神，在’山穷水尽疑无路‘的时候，卓越的科学家往往是另辟蹊境，创造出‘柳暗花明又一村’的境界。
数学研究的非常规方法：直觉思维与逆向思维
法国数学家彭加勒（Poincare, ,)曾经说过‘逻辑是证明的工具，直觉是发明的工具。’‘逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇见任何障碍，但是它不能告诉我们哪条道路能引导我们到达目的地。为此必须从远处瞭望目标，教导我们瞭望的本领的是直觉。没有直觉，数学家就会像这样一个作家，他只会按语法写诗，但是却毫无思想。希尔伯特（D. Hilbert) 也强调说，’数学知识终究要依赖于某种类型的直觉洞察力。
