大数据计算中取模运算一错分析

1618：越狱

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【题目描述】
原题来自：HNOI 2008

监狱有连续编号为 11 到 nn 的 nn 个房间，每个房间关押一个犯人。有 mm 种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人信仰的宗教相同，就可能发生越狱。求有多少种状态可能发生越狱。

【输入】
输入两个整数 mm 和 nn。

【输出】
可能越狱的状态数，对 100003100003 取余。

【输入样例】
2 3
【输出样例】
6

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int p=100003;
long long qm(long long m,long long n)
{
    if(n==0)return 1;
    if(n==1)return m%p;
    long long t=qm(m,n/2);
    t=(t*t)%p;
    if(n%2)t=t*m;
    return t%p;    
}
int main()
{
    long long m,n;
    cin>>m>>n;
    m%=p;
    cout<<(qm(m,n)-m*qm(m-1,n-1))%p;
    return 0;
}

老规矩，样例能过，提交后一对9错（答案错误）。首先排查算法逻辑错误，想了又想，把每一个环节都从数学的角度复查一遍，还是确认逻辑没问题。那就可以是取模运算了。在朋友们的帮助下，发现(qm(m,n)-m*qm(m-1,n-1))%p可能出现负数，然后取模运算也不能把它变成正数。所以最后这一算改为(qm(m,n)-m*qm(m-1,n-1)+p)%p，但还是一对9错。期间另一朋友发了一个程序，看了下逻辑上一模一样。后来详细比较和另一朋友提醒下，发现(qm(m,n)-m*qm(m-1,n-1)+p)%p中加一个p不能解决负数问题，因为前面有一个m倍，所以需要把m*qm(m-1,n-1)也取模，最后+p就可以解决负数问题了，也就是说最后一步改为(qm(m,n)-(m*qm(m-1,n-1))%p+p)%p就可以了。

 

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