[AGC001 E]BBQ Hard

题意

有\(N\)个叉子，对应的叉子附带有两种各\(A_i\)个和\(B_i\)个的食材，每次选出两个叉子和对应的食材，将这两种食材按照某种顺序插到叉子上。其中，叉子之间都是不同的（不过叉子使用的顺序没有区别），而每种食材都是没有区别的（也就是说，所有是同一种类的食材都是一样的）。求能够有多少种不同的选取方案。

• \(N \leq 2\times10^6\)
• \(A_i,B_i\leq 2\times 10^3\)

分析

实际上这个过程相当于是选出两对\(A_i\)和\(B_i\)，然后进行一个类似二进制排列的过程……不难看出这个过程就是\(\binom{A}{A+B}=\binom{B}{A+B}\)的方案数，这里\(A\)和\(B\)就是选出来的东西的和。所以实际上答案就是$$\sum\limits_{i=1}^{n\sum\limits_{j=1}}\binom{A_i+A_j}{A_i+B_i+A_j+B_j}$$

（我竟然没想出来这个非常水的做法）我们考虑另一个组合意义，实际上这个组合数就是说从\((-A_i,-B_i)\)走到\((A_j,B_j)\)的方案数，我们可以发现这个东西很容易计算，只需要做一个\(\text O(MAX^2)\)的DP，初始的时候将所有\(i\)对应的点\(+1\)就可以计算了。然后我们考虑最终的答案$$\sum_{i}\sum_{j<i}f(i,j)=\frac{1}{2}\sum_i\sum_jf(i,j)-\sum_{i}f(i,i)$$

就做完了，时间复杂度\(\text O(MAX^2+n)\)。

反思一下，其实这个做法非常简单和显然，但是我却忽略了将组合数暴力计算的方法。长期以来我都用的是阶乘的方法计算，但是实际上这种考虑暴力计算的方法不应该忘掉。更本质地说，这就是某种分拆贡献的方法。