[AGC001 D]Arrays and Palindrome

题意

对于一对数组\(a_i\)和\(b_i\)，满足\(\sum\limits_{i=1}^{k_a}a_i=\sum\limits_{i=1}^{k_b}b_i=N\)，而且对于所有长度为\(N\)的字符串，如果在满足下列两个条件的前提下：

• 对于前\(a_1\)个，接下来\(a_2\)个，再接下去\(a_3\)个……都是回文串

• 对于前\(b_1\)个，接下来\(b_2\)个，再接下去\(b_3\)个……都是回文串

同时还必然满足这个字符串一定全部字符都一样。如果只有原来\(a_i\)的一个排列，求一种这个\(a_i\)数组和相应的\(b_i\)数组。注意可能不存在。

• \(N\leq 10^5\)
• \(k_a \leq 100\)
• \(A_i\leq 10^5\)

分析

先考虑\(k_a\)比较小的情况，例如\(k_a=1\)，这个时候可以发现我们只需要让回文串错一位就可以了。

对于\(k_a=2\)，考虑我们从那个中间分隔的点开始往外直接扩展，实际上只要覆盖到两边回文串中间的那个点，然后剩下来的直接随便覆盖就可以了（因为就这一些已经将两个回文串“连接”在了一起），这是一个思路，但是比较难以实现。

更加直接的思路（按照题解），还是按照错位，我们考虑实际上只需要将中间那个分割点向左边移动一下，那也是能够相应建立关系的。

按照这个思路，我们应该可以进一步地考虑推广！我们应该可以按照这个思路，只需要取\(b=\{a_1-1,a_2,\cdots,a_{k_a-1},a_{k_a}+1\}\)，这种答案的构造方法，除非是中间的数是偶数，否则都是可以的。

那么当存在大量偶数的时候有没有可能构造出一个相应的解呢？我们考虑设\(a\)里面偶数有\(O_a\)个，\(b\)里面偶数有\(O_b\)个，那么边数是\(\frac{N-O_a}{2}+\frac{N-O_b}{2}\)，考虑如果我们要让这\(N\)个点连通，我们肯定至少需要\(N-1\)条边，那么也就是\(\frac{N-O_a}{2}+\frac{N-O_b}{2}\geq N-1\)，这个不等式算出来是\(O_a+O_b\leq 2\)……于是我们发现不可能偶数多于\(2\)个。如果满足的话那一定可以将这两个偶数调到最前和最后。

那么我们只要扫一遍就可以得到了。回顾一下思路，我们从\(k_a=1\)的情况推出了错位的思路，然后进一步推广到了一般情况，同时对于一种看上去比较特殊的情况得出了解。最后，我们证明了剩下的情况没有解，实际上也就是说因为有偶数，所以相当于要浪费一部分边去专门将偶数导走，然后整个图就无法导通。

注意在写的时候有可能会出现减出\(0\)的情况，所以需要再判一下边界情况。

# include <bits/stdc++.h>
# define il inline
# define fi first
# define se second
# define pb push_back
# define mem(x,v) memset(x,v,sizeof x)
# define rep(i,x,y) for(int i=x;i<=y;++i)
# define re(i,x,y) for (int i=x;i<y;++i)
using namespace std;
typedef long long ll;
il ll read(){
	ll x=0; char c=getchar();
	for(;c<'0'||c>'9';c=getchar());
	for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())x=x*10+c-'0';
	return x;
}
const int maxm = 100+10;
int n,m;
int a[maxm];
vector<int> b;
int main(){
	n=read(); m=read();
	rep(i,1,m) a[i]=read();
	if (m == 1){
		b.pb(1); b.pb(n-1);
	}
	else{
		int cnt = 0;
		rep(i,1,m) cnt += a[i] % 2;
		if (cnt > 2){
			puts("Impossible"); return 0;
		}
		rep(i,2,m-1)
			if (a[i]%2==1){
				if (a[1]%2==0)swap(a[1],a[i]);
				else swap(a[m],a[i]);
			}
		b.pb(a[m]+1);
		for (int i=m-1;i>1;--i) b.pb(a[i]);
		b.pb(a[1]-1);
	}
	rep(i,1,m) printf("%d ",a[i]); printf("\n");
	int bs=b.size();
	if (b[bs-1] == 0)--bs;
	printf("%d\n",bs);
	for (int i=bs-1;i>=0;--i) printf("%d ",b[i]); printf("\n");
	return 0;
}