[ARC095 F]Permutation Tree

最近刷AtCoder，觉得刷得挺爽的，每次的F题都有一定难度，但是却还是挺可做的>_<反正AtCoder对于我这种英文不好的选手来说非常友善，看一眼就读完题面了

题意

Takahashi有一种能力以以下步骤用一个排列\((p_1,p_2,\cdots,p_n)\)来生成一棵树：

首先，按照以下操作准备顶点\(1\cdots N\)。对于顶点\(i\)：

• 如果\(p_i=1\)，什么都不做
• 如果\(p_i\neq 1\)，让\(j'\)表示最大的满足\(p_j<p_i\)的\(j\)。在\(j'\)和\(i\)之间连一条边

给出按照这个过程建立的一棵树，判定是否能够用另外一个排列做出一棵与此同构的树，问这个要求字典序最小的排列应该是什么，无解输出\(-1\)。
\(1\leq n\leq10^5\)

分析

考虑我们将这个操作的过程改写成：一开始全是黑点，然后我们将\(p_i\)按照升序排列，考虑为原来的\(i\)。然后我们令一个\(max=-1\)，考虑从左到右扫一遍，如果发现\(i>max\)，那么将\(i\)染红，并将\(max\)替换成\(i\)；如果当前的\(p_i\neq 1\)，那么连边（注意一下，原来的过程那里，\(j\)并不一定小于\(i\)……这里是对于全局的……）。
这个过程符合原来的性质，因为每次和某个点连接的红点，肯定是比\(p_i\)小，而且最接近。这时候我们会发现，我们得到的这个红点之间的链，相当于一条“直径”的东西，然后剩下的黑点都向着这个直径上连边，而且显然黑点之间没有边。
实际上按照原来的过程也可以感受出来，某一个\(p_i\)很小但是\(i\)很大的点，可能会能够“占领”一大堆点，直到某一个\(i\)更大的点出现。
这样的图是一个“毛虫图”。如果给定的图不是一个“毛虫图”，那肯定不对，这和我们刚刚证明的不一样。怎么验证呢？我们看这条链，很容易想到就是找直径，然后我们检测一下就好了，对于直径上的点每个都搜上一层，看看它是不是只会连到直径这一个点上。
那么怎么构造字典序最小的答案？事实上这也很简单。考虑设直径上的点伸出来的边依次为\(k_i\)条，不难看出此时我们只要将排列\({1,2,3\cdots l}\)做以下操作：每次对于一个\(i\)，将\(\sum\limits_{j=0}^{i+1}(k_i+1)\)位置的数右移\(k_i\)个的位置，就会得到字典序最小的答案。
不过注意我们直径上面点的顺序可能有两种，都需要试一下。

# include<bits/stdc++.h>
# define rep(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
using namespace std;
const int N=1e5+5;
vector<int>lk[N];
int fa[N],deep[N];
int s[N];
int np[N],p1[N],p2[N];
 
void dfs(int x,int fr){
	fa[x]=fr;deep[x]=deep[fr]+1;
	for(auto y:lk[x])
	if(y!=fr)dfs(y,x);
}
 
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	rep(i,1,n){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		lk[x].push_back(y);lk[y].push_back(x);
	}
	dfs(1,0);
	int x=1;
	rep(i,2,n)
	if(deep[i]>deep[x])x=i;
	dfs(x,0);
	int y=1;
	rep(i,2,n)
	if(deep[i]>deep[y])y=i;
	for(int i=y;i;i=fa[i])s[i]=1;
	rep(i,1,n)
	if(!s[i]&&++s[fa[i]]==1){
		puts("-1");
		exit(0);
	}
	vector<int>a;
	for(int i=y;i;i=fa[i])a.push_back(s[i]);
	int top=0;
	for(auto i:a){
		np[top+1]=top+i;
		rep(j,1,i-1)np[top+1+j]=top+j;
		top+=i;
	}
	rep(i,1,n)p1[np[i]]=i;
	top=0;
	for(auto it=a.end();--it>=a.begin();){
		int i=*it;
		np[top+1]=top+i;
		rep(j,1,i-1)np[top+1+j]=top+j;
		top+=i;
	}
	rep(i,1,n)p2[np[i]]=i;
	int i=1;
	while(p1[i]==p2[i]&&i<=n)++i;
	if(p1[i]<p2[i])
		rep(i,1,n)printf("%d ",p1[i]);
	else
		rep(i,1,n)printf("%d ",p2[i]);
}