图和网络分析

图与网络分析

图的基本概念与模型

P.S. 只列一些陌生概念（为什么图的概念会有这么多版本😅无语住了）

次：与某一个点 \(v_i\) 相关联的边的数目称为点 \(v_i\) 的次（degree），也叫做度，记作 \(d(v_i)\)
部分图：\(G_1 = \left\{ V_1,E_1 \right\}\)，\(G_2 = \left\{ V_2,E_2 \right\}\)，若有 \(V_1 = V_2, E_1 \sqsubseteq E_2\)，则称 \(G_1\) 是 \(G_2\) 的部分图。注意：部分图也是子图，子图不一定是部分图。（子图：\(V_1 \sqsubseteq V_2, E_1 \sqsubseteq E_2\)）
链、路：图中存在点和边交替序列 \(\mu=\left\{ v_0,e_1,v_1,\cdots ,e_k,v_k \right\}\)，若其中各边 \(e_1,e_2,\cdots e_k\) 各不相同，且对任意的 \(1\le t\le k\) 有，\(v_{t-1}\) 和 \(v_t\) 相邻，则称 \(\mu\) 为链。如果链中所有顶点 \(v_0,v_1,\cdots v_k\) 也互不相同，则称这样的链为路。

树和图的最小部分树

最小部分树就是最小生成树

树的性质

任何树中必定存在度为 1 的点
具有 n 个顶点的树的边树恰好等于 \((n-1)\)
任何具有 n 个点、(n-1) 条边的连通图是树

以上性质说明：

树是无圈连通图中边数最多，即在树上只要任意再加上一条边就一定会出现圈。
由于树是无圈的连通图，即图的任意两个点之间有且仅有一条唯一通路。因此树也是最脆弱的连通图，只要从树中取走任意一条边，图就不连通了。因此一些重要的网络不能按照树的结构设计。

图的最小部分树

定义：
如果 \(G_1\) 是 \(G_2\) 的部分图，同时又是树，则称 \(G_1\) 是 \(G_2\) 的部分树。在所有部分树中树枝总长度最小的部分树，称为该图的最小部分树（也称为最小支撑树）。

定理：
图中任意一点 i，若 j 是与 i 相邻点中距离最近的，则边 \([i,j]\) 一定> 含在该图的最小部分树内。

避圈法和破圈法

两种方法寻找图的最小部分树

避圈法：

从图中任选一点 \(v_i\)，使得 \(v_i \in V\)，图中其余点均包含在 \(\overline{V}\) 中
从 \(V、\overline{V}\) 的连线中找出最小边，这条边一定包含在最小部分树内。不妨设最小边为 \([v_i,v_j]\)，将其加粗，用以标记该边是最小部分树内的边。
令 \(V \cup v_i \implies V，\overline{V} \backslash v_i \implies \overline{V}\)
重复 2、3 两步，直至图中所有点均包含在 V 中为止。

破圈法：

从网络图 N 中任意取一条回路
去掉这个回路中权数最大的一条边，得到一个子网络 \(N_1\).
在 \(N_1\) 中再任取一回路，再去掉回路中权数最大的一条边，得到 \(N_2\)
如此继续下去，一直到剩下的子图中不再含回路为止。得到的子图就是 N 的最小部分树。

最短路问题

Dijkstra 算法（求指定两点之间最短距离）

用 \(d_{ij}\) 表示图中两相邻点 \(i\) 与 \(j\) 的距离，若 \(i\) 与 \(j\) 不相邻，令 \(d_{ij} = \infty\)，显然 \(d_{ii} = 0\)，若用 \(L_{si}\) 表示从 \(s\) 点到 \(i\) 点的最短距离，现要求从 \(s\) 点到某一点 \(t\) 的最短距离，用 \(Dijkstra\) 算法步骤如下：

从点 \(s\) 出发，因为 \(L_{ss} = 0\)，将此值标注在 \(s\) 旁的小方框内，表示 \(s\) 点已标号；
从 \(s\) 点出发，找出与 \(s\) 相邻的点中距离最小的一个，设为 \(r\)，将 \(L_{sr} = L_{ss} + d_{sr}\) 的值标注在 \(r\) 旁的小方框内，表明点 \(r\) 也已经标号；
从已标号的点出发，找出与这些点相邻的所有未标号的点 \(p\)，若有 \(L_{sp} = \min(L_{ss}+d_{sp}; L_{sr} + d_{rp})\)，则对 \(p\) 点标号，并将 \(L_{sp}\) 的值标注在 \(p\) 点旁的小方框内；
重复前三步骤，一直到 \(t\) 点得到标号为止

Floyd 算法（求任意两点之间的最短距离）

要点：以每一个顶点为中转站，刷新所有入度和出度的距离
因此需要：遍历每一个点顶点 --> 遍历每一个顶点的入度 --> 遍历每一个顶点的出度，以这个点为中转站，距离更短就刷新距离
核心代码：

for (int i = 0; i < graph.length; i++) {
        //所有入度
        for (int j = 0; j < graph.length; j++) {
            //所有出度
            for (int k = 0; k < graph[j].length; k++) {
                //以每个点为「中转」，刷新所有出度和入度之间的距离
                //例如 AB + BC < AC 就刷新距离
                if (graph[j][i] != -1 && graph[i][k] != -1) {
                    int newDistance = graph[j][i] + graph[i][k];
                    if (newDistance < graph[j][k] || graph[j][k] == -1) {
                        //刷新距离
                        graph[j][k] = newDistance;
                        //刷新路径
                        path[j][k] = i;
                    }
                }
            }
        }
    }

网络的最大流

割和流量

割是指将容量网络中的发点和收点分割开，并使 \(s\to t\) 的流中断的一组弧的集合，

最大流最小割定理

增广链
如果在网络的发点和收点之间能找出一条链，在这条链上所有指向为 \(s \to t\) 的弧（称 前向弧，记作 \(\mu^{+}\)），存在 \(f<c\)；所有指向为 \(t \to s\) 的弧（称 后向弧，记作 \(\mu^{-}\)），存在 \(f>0\)，这样的链称 增广链。
当有增广链存在时找出

\[\theta = \min \begin{cases} (c_i-f_i),\quad \text{对} \mu^{+} \\ f_i\ ,\quad \quad \quad \ \ \text{对} \mu^{-} \end{cases} \qquad (\theta > 0) \]

再令

\[f^{'} = \begin{cases} f_i + \theta,\quad \text{对所有} \mu^{+} \\ f_i - \theta,\quad \text{对所有} \mu^{-} \\ f_i\ , \quad \quad\ \ \text{对非增广链上的弧} \end{cases} \]

显然 \(f^{'}\) 仍是一个可行流，但较之原来的可行流 \(f\)，这时网络中从 \(s \to t\) 的流量增大了一个 \(\theta\)，因此 只有当网络图中找不到增广链时，\(s \to t\) 的流才不可能进一步增大。

定理：
在网络中 \(s \to t\) 的最大流量等于它的最小割集的容量，即

\[v^{*}(f) = c^{*}(V,\overline{V}) \]

求网络最大流的标号算法

又称 \(Ford-Fulkerson\) 标号算法
算法实质是判断是否有增广链存在并设法吧增广链找出来
标号算法步骤：

首先给发点 \(s\) 标号 \((0,\varepsilon(s))\)。括弧中第一个数字是使这个点得到标号的前一个点的标号，因 \(s\) 是发点，故记作 \(0\)；第二个数字 \(\varepsilon(s)\) 表示从上一个标号点到这个标号点的流量最大允许调整值，\(s\) 为发点，不限允许调整量，故 \(\varepsilon(s) = \infty\)。
列出与已标号点相邻的所有未标号点：
1. 考虑从标号点 \(i\) 出发的弧 \((i,j)\)，如果有 \(f_{ij} = c_{ij}\)，不给点 \(j\) 标号；若有 \(f_{ij} < c_{ij}\)，则对点 \(j\) 标号，记为 \((i,\varepsilon(j))\)，括弧中 \(i\) 表示点 \(j\) 的标号是从点 \(i\) 延伸过来的，\(\varepsilon(j) = min \{ \varepsilon(i),(c_{ij}-f_{ij})\}\)；
2. 考虑所有指向标号点 \(i\) 的弧 \((h,i)\)，如果有 \(f_{hi}=0\)，对 \(h\) 点不标号；若有 \(f_{hi} > 0\)，则对点 \(h\) 标号，记为 \((h,\varepsilon(h))\)，其中，\(\varepsilon(h) = min \{ \varepsilon(h),f_{hi}\}\)；
3. 如果某为标号点 \(k\) 有两个以上相邻的标号点，为了减少迭代次数，可按前两步中所述规则分别计算出 \(\varepsilon(k)\) 的值，并取其中最大的一个标记。
重复第2步，可能出现以下两种结局：
- 标号过程中断，\(t\) 得不到标号，说明该网络中不存在增广链，给定的流量即为最大流。记已标号点的集合为 \(V\)，未标号点集合为 \(\overline{V}\)，\((V,\overline{V})\)，为网络的最小割；
- \(t\) 得到标号，这时可用反向追踪法在网络中找出一条从 \(s \to t\) 的由标号点及相应的弧连接而成的增广链。
修改流量，设图中原有可行流为 \(f\)，令
\[f^{'}= \begin{cases} f + \varepsilon(t),\quad \text{对增广链上所有前向弧} \\ f - \varepsilon(t),\quad \text{对增广链上所有后向弧} \\ f\ , \quad \quad \quad \ \ \text{对所有非增广链上的弧} \end{cases} \]
这样又得到网络上的一个新的可行流 \(f^{'}\).
抹掉图上所有标号，重复一至四步，直至图中找不到任何增广链，即出现第三步的第一个结局为止，这是网络图中的流量即为最大流。

最小费用流

最小费用流问题描述：
设网络有 \(n\) 个点，\(f_{ij}\) 为弧 \((i,j)\) 上的流量，\(c_{ij}\) 为该弧的容量，\(b_{ij}\) 为在弧 \((i,j)\) 上通过单位流量时的费用，\(s_i\) 代表第 \(i\) 点的可供量或需求量，当 \(i\) 为发点时，\(s_i>0\)，\(i\) 为收点时，\(s_i<0\)，\(i\) 为中转点时，\(s_i=0\)。当网络供需平衡，即 \(\displaystyle \sum_{i}s_i=0\) 时，将各发点物资调运到各收点（或从各发点按最大流量调运到各收点），使总掉运费用最小的问题，可归结为如下线性规划模型：

\[min\ z = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}b_{ij}\,f_{ij} \\ s.t. \begin{cases} \displaystyle \sum_{j=1}^{n}f_{ij} - \sum_{k=1}^{n}f_{ki} = s_i(i=1,\cdots ,n) \\ 0 \le f_{ij} \le c_{ij} (对弧(i,j)) \\ \end{cases} \]

最小费用流问题解题步：

从零流 \(f_0\) 开始。\(f_0\) 是可行流，也是相应的流量为零时费用最小的
对可行流 \(f_k\) 构造加权网络 \(W(f_k)\)，方法是：
1. 对 \(0<f_{ij}<c_{ij}\) 的弧 \((i,j)\)，当其为正向弧时，通过单位流的费用为 \(b_{ij}\)，当其为反向弧时，相应费用 \(b_{ji}=-b_{ij}\)。故在 \(i\) 和 \(j\) 点之间分别给出弧 \((i,j)\) 和 \((j,i)\) ，其权数分别为 \(b_{ij}\) 和 \(-b_{ij}\)。
2. 对 \(f_{ij}=c_{ij}\) 的弧 \((i,j)\)，因为该弧流量已饱和，在增广链中只能作为反向弧。故在 \(W(j_k)\) 中只画出弧 \((j,i)\)，其权数值为 \(-b_{ij}\)。
3. 对 \(f_{ij} = 0\) 的弧 \((i,j)\)，在增广链中只能为正向弧，故在 \(W(j_k)\) 中只画出弧 \((i,j)\)，其权数值为 \(b_{ij}\)。
在加权网络 \(W(f_k)\) 中，寻找费用最小的增广链，也即求从 \(s \to t\) 的最短路，并将该增广链上流量调整至允许的最大值，得到一个新的流量 \(f_{k+1}(>f_k)\)。
重复第二、三两步，直至网络 \(W(f_{k+m})\) 中找不到增广链（也即找不出最短路）时，\(f_{k+}\) 即为要寻找的最小费用流。

posted @ 2022-06-27 21:46 硫没有正七价阅读(80) 评论(0) 编辑收藏举报

会员力量，点亮园子希望

刷新页面返回顶部

硫没有正七价