B-树

当查找的文件较大，且存放在磁盘等直接存取设备中时，为了减少查找过程中对磁盘的读写次数，提高查找效率，基于直接存取设备的读写操作以"页"为单位的特征。
1972年R.Bayer和E.M.McCreight提出了一种称之为B-树的多路平衡查找树。它适合在磁盘等直接存取设备上组织动态的查找表。

1、定义与特性

B-树是一种平衡的多路查找树，在文件系统中有所应用。主要用作文件的索引。

一棵m阶B-树，或为空树，或为满足下列特性的m叉树：(m≥3)

(1)根结点只有1个，关键字字数的范围[1,m-1]，分支数量范围[2,m]；

(2)除根以外的非叶结点，关键字字数的范围是[[m/2]-1,m-1]，即每个结点包含分支数范围[[m/2],m]，其中[m/2]表示取大于m/2的最小整数；

(3)非叶结点是由叶结点分裂而来的，所以叶结点关键字个数也满足[[m/2]-1,m-1]；

(4)所有的非终端结点包含信息：(n，P₀，K₁，P₁，K₂，P₂，……，K_n，P_n)，

 其中K_i为关键字，P_i为指向子树根结点的指针，并且P_i-1所指子树中的关键字均小于K_i，而P_i所指的关键字均大于K_i（i=1，2，……，n），n+1表示B-树的阶，n表示关键字个数，即[ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1；

(5)所有叶子结点都在同一层，并且指针域为空，具有如下性质：

根据B-树定义，第一层为根有一个结点，至少两个分支，第二层至少2个结点，i≥3时，每一层至少有2乘以([m/2])的i-2次方个结点([m/2]表示取大于m/2的最小整数)。若m阶树中共有N个结点，那么可以推导出N必然满足N≥2*(([m/2])的h-1次方)-1 (h≥1)，因此若查找成功，则高度h≤1+log[m/2](N+1)/2，h也是磁盘访问次数(h≥1)，保证了查找算法的高效率。

从以上的定义特性可总结出如下结论:对于m阶B-树

1)树中每个结点最多含有m个孩子（m>=2）；

2)除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有[ceil(m / 2)]个孩子（其中ceil(x)是一个取上限的函数）；

3)若根结点不是叶子结点，则至少有2个孩子（特殊情况：没有孩子的根结点，即根结点为叶子结点，整棵树只有一个根节点）；

4)所有叶子结点都出现在同一层，叶子结点不包含任何关键字信息(叶子节点只是没有孩子和指向孩子的指针，这些节点也存在，也有元素）。

5)每个非终端结点中包含有n个关键字信息： (n，P0，K1，P1，K2，P2，......，Kn，Pn)。其中：

       a)   Ki (i=1...n)为关键字，且关键字按顺序升序排序K(i-1)< Ki。

       b)   Pi为指向子树根的接点，且指针P(i-1)指向子树种所有结点的关键字均小于Ki，但都大于K(i-1)。

       c)   关键字的个数n必须满足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。

下图给出了典型的3阶B-树

B-树中的每个结点根据实际情况可以包含大量的关键字信息和分支(当然是不能超过磁盘块的大小，根据磁盘驱动(disk drives)的不同，一般块的大小在1k~4k左右)；这样树的深度降低了，这就意味着查找一个元素只要很少结点从外存磁盘中读入内存，很快访问到要查找的数据

B-树定义的结点

#define MAXM 10                /*定义B-树的最大的阶数*/
typedef int KeyType;           /*KeyType为关键字类型*/
typedef struct BTNode          /*B-树结点类型定义*/
{ 
    int keynum;                /*结点当前拥有的关键字的个数*/
    KeyType key[MAXM];         /*key[1..keynum]存放关键字,key[0]不用*/
    struct BTNode *parent;     /*双亲结点指针*/
    struct BTNode *ptr[MAXM];  /*孩子结点指针数组ptr[0..keynum]*/
}BTTree;

2.基本操作

 1)B-树的插入操作(重点判断是否满足n<=m-1)--分裂

      a.利用前述的B-树的查找算法查找关键字的插入位置。若找到，则说明该关键字已经存在，直接返回。否则查找操作必失败于某个最低层的非终端结点上。

      b.判断该结点是否还有空位置。即判断该结点的关键字总数是否满足n<=m-1。若满足，则说明该结点还有空位置，直接把关键字k插入到该结点的合适位置上。若不满足，说明该结点己没有空位置，需要把结点分裂成两个。

分裂的方法是：生成一新结点。把原结点上的关键字和k按升序排序后，从中间位置把关键字（不包括中间位置的关键字）分成两部分。左部分所含关键字放在旧结点中，右部分所含关键字放在新结点中，中间位置的关键字连同新结点的存储位置插入到父结点中。如果父结点的关键字个数也超过（m-1），则要再分裂，再往上插。直至这个过程传到根结点为止。

2).B-树的删除操作(重点判断删除所在结点及其兄弟结点，父结点中n>ceil(m/2)-1，n=ceil(m/2)-1，n<ceil(m/2)-1)

在B-树上删除关键字K的过程也可以分为两步完成

a.利用前述的B-树的查找算法找出该关键字所在的结点。然后根据 k所在结点是否为叶子结点有不同的处理方法。

b.若该结点为非叶结点，且被删关键字为该结点中第i个关键字key[i]，则可从指针son[i]所指的子树中找出最小关键字Y，代替key[i]的位置，然后在叶结点中删去Y。【每个非终端结点中包含有n个关键字信息： (n，P0，K1，P1，K2，P2，......，Kn，Pn)。】因此，把在非叶结点删除关键字k的问题就变成了删除叶子结点中的关键字的问题了。

 

后补：http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/25/2608412.html