具体数学 - 模 m 剩余类 Residue Class of Module m

我们把与整数 \(a\) 模 \(m\) 同余的整数称作同余数，这些同余数构成的集合记作 \(\bar{a}=\{x \in Z | x \equiv a \pmod m\}\)。所有模 \(m\) 的同余数集合所构成的集合称为模 \(m\) 的剩余类，记作 \(z_m = \{\overline{1},\overline{2},\dots,\overline{m-1}\}\)。模 \(m\) 剩余类具有如下性质，假设 \(a \equiv b \pmod m, c \equiv d \pmod m\)。

\[a + b \equiv c + d \pmod m; \\ ab \equiv cd \pmod m. \]

我们定义以下符号作为剩余类的集合运算符号。

\[\bar{a} + \bar{b} \overset{def}{=} \overline{a+b}; \\ \bar{a} \cdot \bar{b} \overset{def}{=} \overline{a \cdot b}. \]

剩余类的加法和乘法具有以下性质。

• 封闭性：加法和乘法都具有封闭性，有限个元素的运算其结果也是有限个元素。
• 零元与单位元：加法具有零元，即 \(\forall \bar{a} + \bar{0} = \bar{a}; \forall \bar{0} + \bar{a} = \bar{a}\)；乘法可能具有单位元，即 \(\forall \bar{a} \cdot \bar{e} = \bar{a}; \forall \bar{e} \cdot \bar{a} = \bar{a}\)。
• 逆元：加法具有可逆性，即 \(\forall \bar{a}, \exist b \ \mathrm{s.t.} \ \bar{a} + \bar{b} = \bar{0}\)；乘法可能具有可逆性，即 $ \forall \bar{a}, \exist b \ \mathrm{s.t.} \ \bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{e}$。
• 结合律：加法和乘法都符合结合律。
• 交换律：加法符合交换律，乘法可能符合交换律。
• 分配律：加法和乘法都符合分配律。

根据群环域的概念，我们对模 \(m\) 剩余类环进行分类，以在模 \(m\) 剩余类上模拟数字的运算。

• 若 \(m\) 为和数，那么模 \(m\) 剩余类具有零元，当 \(a \pmod m = 1\)时存在逆元。
• 若 \(m\) 为素数，那么模 \(m\) 剩余类构成域。