具体数学 - 同余数 Congruence

当两个整数 $a$ 与 $b$ 关于整数 $m$ 的取余运算结果相同，我们称为 $a$ 关于模 $m$ 与 $b$ 同余，记作

a \equiv b (\mod m) \Leftrightarrow a mod m = b mod m .

$a \equiv b \pmod m \Leftrightarrow a \bmod m = b \bmod m.$

定理 1： $a \equiv b \pmod m \Leftrightarrow m|(a-b)$

证明：假设 $a = k_1 m + r_1$ 与 $b = k_2 m + r_2$ ，那么 $a-b = (k_1 - k_2)m + (r_1 - r_2)$ ，当 $a \equiv b \pmod m$ 时，有 $r_1 = r_2$ ，所以 $a-b = (k_1 - k_2)m$ 必定可以被 $m$ 整除。反向证明同理。

定理 2： $a \equiv b \pmod m \Leftrightarrow a = b + km$

证明：假设 $a = k_1 m + r_1$ 与 $b = k_2 m + r_2$ ，已知 $a \equiv b \pmod m$ ，则 $r_1 = r_2$ ，有 $a = k_1 m + r_1 = (k_2+k) m + r_2 = (k_2 m + r_2) + km = b + km$ 。反向证明同理。

同余数具有以下性质

自反性： $a \equiv a \pmod m$ ；
对称性： $a \equiv b \pmod m \Rightarrow b \equiv a \pmod m$ ；
传递性： $a \equiv b \pmod m \and b \equiv c \pmod m \Rightarrow a \equiv c \pmod m$ ；
同加性： $a \equiv b \pmod m \Rightarrow a+c \equiv b+c \pmod m$ ， $a \equiv b \pmod m \and c \equiv d \pmod m \Rightarrow a+c \equiv b+d \pmod m$ ；
同乘性： $a \equiv b \pmod m \Rightarrow ac \equiv bc \pmod m$ ， $a \equiv b \pmod m \and c \equiv d \pmod m \Rightarrow ac \equiv bd \pmod m$ ；
同幂性： $a \equiv b \pmod m \Rightarrow a^n \equiv b^n \pmod m$
$a \bmod p = a \bmod q = x \and \gcd(p,q) = 1 \Rightarrow a \pmod{pq}$ 。

中国剩余定理

对于一元线性同余方程组

{\begin{matrix} x \equiv a_{1} (\mod p_{1}) \\ x \equiv a_{2} (\mod p_{2}) \\ \dots \\ x \equiv a_{n} (\mod p_{n}) \end{matrix}

$\left\{ \begin{matrix} x \equiv a_1 \pmod {p_1} \\ x \equiv a_2 \pmod {p_2} \\ \cdots \\ x \equiv a_n \pmod {p_n} \end{matrix} \right.$

一般性的求解过程是

求所有模数的积 $p = p_1 \cdot p_2 \cdots p_n$ ；
对于第 $i$ 个方程：
- 计算 $m_i = \frac{p}{p_i}$ ；
- 计算 $m_i$ 在模 $p_i$ 下的逆元 $m_i^{-1}$ ；
- 计算 $c_i = m_i m_i^{-1}$ 。
方程组在模 $p$ 意义下的唯一解为 $x = \sum_{i=1}^k a_i c_i$ 。

例题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

{\begin{matrix} x \equiv 2 (\mod 3) \\ x \equiv 3 (\mod 5) \\ x \equiv 2 (\mod 7) \end{matrix}

$\left\{ \begin{matrix} x \equiv 2 \pmod {3} \\ x \equiv 3 \pmod {5} \\ x \equiv 2 \pmod {7} \end{matrix} \right.$

首先，我们计算模数的积为 $p = 3 \times 5 \times 7 = 105$ 。然后，我们求解方程

{\begin{matrix} x \equiv 1 (\mod 3) \\ x \equiv 0 (\mod 5) \\ x \equiv 0 (\mod 7) \end{matrix}

$\left\{ \begin{matrix} x \equiv 1 \pmod {3} \\ x \equiv 0 \pmod {5} \\ x \equiv 0 \pmod {7} \end{matrix} \right.$

由上述方程我们知道， $5 \mid x \and 7 \mid x \Rightarrow 35 \mid x$ ，显然， $x_1 = 70$ 是最小正整数解。同理，我们求得 $x_2 = 21, x_3 = 15$ 分别为方程 $\left\{ \begin{matrix} x \equiv 0 \pmod {3} \\ x \equiv 1 \pmod {5} \\ x \equiv 0 \pmod {7} \end{matrix} \right.$ 与 $\left\{ \begin{matrix} x \equiv 0 \pmod {3} \\ x \equiv 0 \pmod {5} \\ x \equiv 1 \pmod {7} \end{matrix} \right.$ 的最小正整数解。最后，我们得到 $x = 70a_1 + 21a_2 + 15a_3 \pmod{105}$ 为方程的通解，将 $a_1 = 2, a_2 = 3, a_3 = 2$ 代入后得到方程的解 $x = 70 \times 2 + 21 \times 3 + 15 \times 2 \pmod{105} = 23$ 。