具体数学 - 底和顶 Floors and Ceilings

整值函数中的底函数和顶函数的定义如下

• \(\lfloor x \rfloor\) 为小于或等于 \(x\) 的最大整数；
• \(\lceil x \rceil\) 为大于或等于 \(x\) 的最小整数。

整值函数拥有以下性质

• \(\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = [x \in Z]\),
• \(x-1 < \lfloor x \rfloor \leq x \leq \lceil x \rceil < x + 1\),
• \(\lfloor -x \rfloor = -\lceil x \rceil\),
• \(\lceil -x \rceil = -\lfloor x \rfloor\),
• \(\lfloor x+n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n, n \in Z\),

对于任意连续、递增的函数 \(f(x)\)，如果其满足 \(x,f(x) \in Z\)，那么

\[\begin{align*} \lfloor f(x) \rfloor &= \lfloor f(\lfloor x \rfloor) \rfloor; \\ \lceil f(x) \rceil &= \lceil f(\lceil x \rceil) \rceil. \\ \end{align*} \]

我们证明第二个式子，第一个式子同理可证。

如果 \(x = \lceil x \rceil\)，式子显然成立。如果 \(x < \lceil x \rceil\)，由于 \(f(x)\) 递增，则有 \(f(x)<f(\lceil x \rceil)\)。不等式两边同时取整，有 \(\lceil f(x) \rceil \leq \lceil f(\lceil x \rceil) \rceil\)。要证明等式 \(\lceil f(x) \rceil = \lceil f(\lceil x \rceil) \rceil\) 成立，则只需要证明不等式 \(\lceil f(x) \rceil < \lceil f(\lceil x \rceil) \rceil\) 不成立即可。

假设 \(\lceil f(x) \rceil < \lceil f(\lceil x \rceil) \rceil\) 成立，根据中值定理，存在 \(x \leq y < \lceil x \rceil\)，使得 \(f(y) = \lceil f(x) \rceil\)。但由于 \(y\) 是一个整数，不存在一个整数位于 \(\lfloor x \rfloor\) 与 \(\lceil x \rceil\) 之间，与命题矛盾，假设不成立。所以等式成立。