蒙德里安的梦想——状态压缩dp

291. 蒙德里安的梦想 - AcWing题库

这道题想写出来真恶心啊（起码对于现在的我来说）主要用的方法就是正确选择dp的状态表达，以及使用状态压缩把每一种状态用二进制的01式子表示出来。

 

目前碰到的状态压缩就是把一种状态抽象成0与1，以01式子的形式表示该状态。

 

对于这道题，我们可以先分析每一列的状态，然后遍历就得到了整张图的状态。

摆放方块的时候，先放横着的，再放竖着的。总方案数等于只放横着的小方块的合法方案数。

状态表达：f[i,j]表示为在前i-1列状态已经满足题意，第i-1向第i列突出的状态为j的所有方案数量。

状态计算：

　　既然第 i 列固定了，我们需要看 第i-2 列是怎么转移到到第 i-1列的（看最后转移过来的状态）。假设此时对应的状态是k（第i-2列到第i-1列伸出来的二进制数，比如00100），k也是一个二进制数，1表　　　　　　　示哪几行小方块是横着伸出来的，0表示哪几行不是横着伸出来的。它对应的方案数是 f[i−1,k]f[i−1,k] ，即前i-2列都已摆完，且从第i-2列伸到第i-1列的状态为 k 的所有方案数。

AcWing 291. 蒙德里安的梦想 - AcWing（详细题解）

 

每种正确的状态应该满足：

　　1.每一列都没有连续奇数个0（这样就可以保证每一列都可以放下竖着的小方块并且不留空隙）

　　2.第i-1列伸向第i列的状态以及第i-2列伸向i-1列的状态不会有矛盾的出现（不会有重叠的突起小方块）

所以我们先预处理出满足这两种条件的所有状态，然后再进行dp

 

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=12,M=1<<N;
long long f[N][M];
    //f[i,j]表示在i-1列已经ok，并且i-1伸到i的状态为j的方案数量 
vector<int> sta[M];
bool st[M];


int main()
{
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)&&(n||m))
    {
        //先预处理满足一列没有连续奇数个0的所有状态 
        for(int i=0;i< 1<<n;i++)
        {
            int cnt=0,flag=1;
            //cnt表示该状态连续0的个数，flag=1表示该状态没有连续奇数个0
            for(int j=0;j<n;j++)    //从上往下遍历这一列 
            {
                if(i>>j &1)    //在i状态中第j位是1（凸出来） 
                {
                    if(cnt&1)    //有连续奇数个0
                    {
                        flag=0;    
                        //该状态不满足 没有连续奇数个0 这一条件 
                        break;    //没必要再在这个状态上浪费时间 
                    } 
                    cnt=0;    //有连续偶数个0，依然符合条件，继续循环判断 
                }
                else cnt++;    // i状态中第j位是0 
            } 
            //判断该列的最后一行的cnt是否为奇数
            //举个例子，0001。 
            if(cnt&1)flag=0;    
            st[i]=flag;    //记录一下某列如果状态为i，是否符合条件 
        }
        
        //再预处理i-1与i-2伸出来的部分没有矛盾的状态 
        for(int j=0;j< 1<<n;j++)    //i列的状态 
        {
            sta[j].clear();
            for(int k=0;k< 1<<n;k++)    //i-1列的状态 
            {
                //(j&k)==0的意思是只有在i-1与i-2伸出来的部分不会重叠时
                //我们才选择这个状态
                //j|k的意思是 j状态与k状态合起来的i-1列到底有几个1 
                //因为st[]表示满足预处理1的状态,所以st[j|k]就是用来
                //判断是否j|k的状态满足条件1 
                if((j&k)==0&&(st[j|k]))
                    sta[j].push_back(k);    //满足两个条件就记录下来 
            }
        }
        
        //正式开始dp
        memset(f,0,sizeof f);
        f[0][0]=1;
        for(int i=1;i<=m;i++)
            for(int j=0;j< (1<<n);j++)
                for(auto k:sta[j])    //选择满足条件的状态
                     f[i][j]+=f[i-1][k];
         
        
        printf("%lld\n",f[m][0]);
        
    }
    
    
    
    return 0;
}