整数划分——计数类dp

900. 整数划分 - AcWing题库

 

计数类dp在目前我的理解里，就是状态表示中的属性是数量的dp。这道题就是一个完全背包问题的变形，完全背包问题求的是每种物品无限次使用后的最大代价（注意是这个状态表示的属性是max），而本题求的是每种数字无限次使用后能表示成一个特定的数的数量。

 

本题的公式推导与完全背包问题差不多。

状态表示为使用i种数字后总和为j的方案数量。

f [ i , j ]= f [ i  -1  ,j ] + f [ i- 1 , j -  1 *i ] +  f [ i-  1,  j -2 * i ] + f [ i - 1 , j - ... * i ] 

f [ i , j - i ] =                f [ i - 1 , j- 1  *i ] +  f [ i - 1 , j - 2 * i  ] + f [ i - 1, j - ... * i ]

所以 f [ i , j] = f  [i , j- i ]  +f [ i  -1 , j ]

那我们就可以将二维转化为一维，简化为 f [ j ]  = f [ j ] +f [ j - i  ]

注意，我们还要初始化 f [ 0 ] 为1，因为 f[ i ] [ 0] 表示使用i种数字，但是总和为0的方案数量，应该为1.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+100,mod=1e9+7;;
int f[N];

int main()
{
    int n;scanf("%d",&n);
    
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i;j<=n;j++)
            f[j]=(f[j]+f[j-i])%mod;
    
    printf("%d\n",f[n]);
    
    return 0;
}