floyd最短路算法
floyd最短路算法：
一、用途：
用于求任意两点之间的最短路径（多元最短路径问题）
时间复杂度O(n^3)
二、分析：
首先用二维数组来存储图的信息。比如1号城市到2号城市的路程为2，则设e[1][2]的值为2。2号城市无法到达4号城市，则设置e[2][4]的值为∞。另外此处约定一个城市自己是到自己的也是0，例如e[1][1]为0。具体图如下：
如果要任意两点（例如从a到b）之间的路程变短，只能引用第三个点（k），并通过a->k->b（用k中转），才可能缩短原来从a到b的路程。
但是这个中转k是1~n中的哪一个点？有的时候不只通过一个中转点，通过多个中转点可能会使a到b的距离更短，即a->k1->k2b->或者a->k1->k2…->k->i…->b。比如上图中从4号城市到3号城市（4->3）的路程e[4][3]原本是12。如果只通过1号城市中转（4->1->3），路程将缩短为11（e[4][1]+e[1][3]=5+6=11）。其实1号城市到3号城市也可以通过2号城市中转，使得1号到3号城市的路程缩短为5（e[1][2]+e[2][3]=2+3=5）。所以如果同时经过1号和2号两个城市中转的话，从4号城市到3号城市的路程会进一步缩短为10。通过这个的例子，我们发现每个顶点都有可能使得另外两个顶点之间的路程变短。
当任意两点之间不允许经过第三个点时，这两点之间最短的距离就是初始距离。
如果只允许经过1号顶点（中转点），求任意两点之间最短距离，只需判断e[i][1]+e[1][j]是否比e[i][j]小即可。e[i][j]表示从i号顶点到j号顶点之间的路程。e[i][1]+e[1][j]表示先从i号顶点到1号顶点，再从1到j的路程之和。（因为是任意两点，所以i、j都是1~n循环）
for(i=1;i e[i][1]+e[1][j] )
{
e[i][j] = e[i][1]+e[1][j];
}
在只允许经过1号顶点的情况下，任意两点之间的最短路程更新为：
通过上图我们发现：在只通过1号顶点中转的情况下，3号顶点到2号顶点（e[3][2]）、4号顶点到2号顶点（e[4][2]）以及4号顶点到3号顶点（e[4][3]）的路程都变短了。
接下来继续求在只允许经过1和2号两个顶点的情况下任意两点之间的最短路程。如何做呢？我们需要在只允许经过1号顶点时任意两点的最短路程的结果下，再判断如果经过2号顶点是否可以使得i号顶点到j号顶点之间的路程变得更短。即判断e[i][2]+e[2][j]是否比e[i][j]要小。
//经过1号顶点
for(i=1;i e[i][1]+e[1][j]) e[i][j]=e[i][1]+e[1][j];
//经过2号顶点
for(i=1;i e[i][2]+e[2][j]) e[i][j]=e[i][2]+e[2][j];
在只允许经过1和2号顶点的情况下，任意两点之间的最短路程更新为：
通过上图得知，在相比只允许通过1号顶点进行中转的情况下，这里允许通过1和2号顶点进行中转，使得e[1][3]和e[4][3]的路程变得更短了。
同理，继续在只允许经过1、2和3号顶点进行中转的情况下，求任意两点之间的最短路程。任意两点之间的最短路程更新为：
最后允许通过所有顶点作为中转，任意两点之间最终的最短路程为：
综上核心代码：
1 for(k=1;k<=n;k++)
2
3 for(i=1;i<=n;i++)
4
5 for(j=1;j<=n;j++)
6
7 if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j])
8
9 e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];
三、总结：
floyd核心代码的基本思想就是：最开始只允许经过1号顶点进行中转，更新任意两点最短路径，接下来只允许经过1、2两点进行中转......允许经过1~n号所有顶点进行中转，求任意两点之间最短距离。
概括起来就是，从i号顶点到j号顶点只经过前k号点的最短路程。（动态规划思想）
四、注意事项：
Floyd-Warshall算法不能解决带有“负权回路”（或者叫“负权环”）的图，因为带有“负权回路”的图没有最短路。例如下面这个图就不存在1号顶点到3号顶点的最短路径。因为1->2->3->1->2->3->…->1->2->3这样路径中，每绕一次1->-2>3这样的环，最短路就会减少1，永远找不到最短路。其实如果一个图中带有“负权回路”那么这个图则没有最短路。
