数学知识——约数 gcd lcm

一：约数

　　约数定义：约数，又称因数。整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b的倍数，b称为a的约数。

1.试除法求约数：

　　若d<=sqrt(n)的d是n的约数，那么n/d也一定是n的约数，就是说n的约数是成对存在的，除了sqrt（n）本身；

　　因此for循环从1到n/i遍历，如果i是n的约数，则n/i也是n的约数，注意i*i=n的特殊情况。

 

　　869. 试除法求约数 - AcWing题库

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

void get_divisors(int n)
{
    vector<int>res;
    for(int i=1;i<=n/i;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            res.push_back(i);
            if(n!=i*i)res.push_back(n/i);
        }
    }
    sort(res.begin(),res.end());
    for(auto item:res)
    {
        printf("%d ",item);
        //cout<<item<<" ";
    }
    puts("");
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        int m;
        scanf("%d",&m);
        get_divisors(m);
    }
    
    
    
    return 0;
}

 

2.约数个数：

　　公式：(a1+1)*(a2+1)*...*(ak+1)

 

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int mod=1e9+7;

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    unordered_map<int,int>hash;
    long long ans=1;
    while(n--)
    {
        int m;
        scanf("%d",&m);
        for(int i=2;i<=m/i;i++)
        {
            while(m%i==0)
            {
                m/=i;
                hash[i]++;
            }
        }
        
        if(m>1)hash[m]++;
        
    }
    for(auto i:hash)ans=ans*(i.second+1)%mod;
    printf("%ld",ans);
    
    return 0;
}

 

3.约数之和：

　　借助了秦九韶算法

 

 

871. 约数之和 - AcWing题库

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int mod=1e9+7;

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    unordered_map<int,int>hash;
    
    while(n--)
    {
        int m;
        scanf("%d",&m);
        for(int i=2;i<=m/i;i++)
        {
            while(m%i==0)
            {
                m/=i;
                hash[i]++;
            }
        }
        
        if(m>1)hash[m]++;
        
    }
    
    long long ans=1;
    for(auto i:hash)
    {
        long long a=i.first,b=i.second;
        long long t=1;
        while(b--)t=(t*a+1)%mod;
        ans=ans*t%mod;
    }
    
    printf("%ld",ans);
    
    return 0;
}

 

二：最大公约数gcd O(logn)

　　用到了欧几里得算法（辗转相除法）

　　证明gcd(a,b)==gcd(b,a%b):

　　　　1.证明gcd(a,b)能推出gcd(b,a%b):

　　　　　　假设gcd(a,b)为m，则m|a，m|b,那么m|(a*k1+b*k2)，那么设k=a/b（向下取整），则m|(a-k*b)，而a-k*b就是a%b的结果。得证

　　　　2.证明gcd(b,a%b)能推出gcd(a,b)：

　　　　　　假设gcd(b,a%b)为m，则m|b,m|(a-k*b),那么m|(a-k*b+k*b)，即m|a。得证。

　　所以代码如下：

int gcd(int a,int b)
{
    if(a%b==0)return b;
    return gcd(b,a%b);
}

 

三：最小公倍数lcm

 

 

 

int lcm(int a,int b)
{
    return a*b/gcd(a,b);
}