企图掌握基础背包问题

 

 

一：01背包问题

 

有 N件物品和一个容量是 V的背包。每件物品只能使用一次。

第 i件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

　　

　　1.f [ i ] [ j ] 转化为f [ j ] 的思路：f [ i ] [ j ] 表示从前i个物品中选择，且背包容量为j时获得价值的最大值。一维下，我们少了 i 这个维度，f [ j ] 表示在前 i 轮已经决策的物品且背包容量为 j 时获得价值的最大值。因此，当循环结束后，f [ j ] 表示已经决策所有物品且背包容量为 j 的最终获得价值的最大值。

 

　　 2.  01背包状态转移方程：f [ i , j ] = max(f [ i -1, j ] , f [ i - 1 , j - v [ i ] ] + w [ i ] ]

　　　　　　　　　　 一维：f [ j ] = max ( f [ j ] , f [ j - v [ i ] + w [ i ] ]

 

　  3.一维情况下枚举背包容量要逆序：在二维情况下，状态 f [ i ] [ j ] 是由上一轮 i - 1 的状态得来的，f [ i ] [ j ] 与f [ i - 1 ] [ j ] 是独立的。而优化到一维后，如果我们还是正序，则有f [ 较小体积 ] 更新到f [ 较大体积 ] ，则有可能本应该用第 i - 1 轮的状态却用的是第 i 轮的状态。逆序是为了保证更新当前状态时，用到的状态是上一轮的状态，保证每个物品只有一次或零次;

 

#include <iostream>

using namespace std;

const int N=1e3+10;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
    
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        //如果j<v[i]则f[j]==上一轮的f[j] ,f[j]不需要改变 
        for(int j=m;j>=v[i];j--)            
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }
    
    printf("%d\n",f[m]);
    
    
    
    
    return 0;
}

 

二：完全背包问题

 

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi 。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

 

　　1.完全背包一维时枚举背包容量不需要逆序：逆序是为了保证更新当前状态时，用到的状态是上一轮的状态，保证每个物品只有一次或零次;在完全背包中，因为每个物品可以取任意多次，所以不再强求用上一轮的状态，即本轮放过的物品，在后面还可以再放。

 

　　2.完全背包状态转移方程：f [ i , j - v [ i ] ] = max ( f [ i - 1 ] [ j ] , f [ i , j - v [ i ] + w [ i ] ] 

　　　　　　　　　　   一维：f [ j ] = max ( f [ j ] , f [ j - v [ i ] ] + w [ i ] )

 

#include <iostream>

using namespace std;

const int N=1e3+10;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=v[i];j<=m;j++)f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);　　　　//不逆序，因为物品可以用无限次
    }
    
    printf("%d\n",f[m]);
    
    
    
    
    return 0;
}

 

 

三：多重背包问题

 

有 N种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。

　　

 

　　1.多重背包状态转移方程：f [ i , j ] = max ( f [ i - 1, j - k * v[ i ] ] + k * w [ i ] )   (  k = 0 , 1 , . . . , si )

　　　　　　　　　　  一维：f [ j ] = max ( f [ j ] , f [ j - v [ i ] ] + w [ i ] )   （用二进制转化为01背包问题）

 

　　2.二进制优化 O( N * V * log si ）：

 

　　　　

 

#include <iostream>

using namespace std;

const int N=3e7+100;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int a,b,s;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&s);
        
        int k=1;        //组别里面的个数 
        while(k<=s)
        {
            v[++cnt]=a*k;w[cnt]=b*k;    //整体体积与价值 
            s-=k;
            k*=2;        //组别里的个数二进制增加 
        }
        
        if(s>0)        //剩余的s单独分一组 
        {
            v[++cnt]=a*s;w[cnt]=b*s;
        }    
    }
    
    for(int i=1;i<=cnt;i++)        //注意枚举次数由个数n变成了组别数cnt 
    {
        for(int j=m;j>=v[i];j--)f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);    //01背包 
    }
    
    printf("%d\n",f[m]);
    
    
    
    
    return 0;
}

 

四：分组背包问题

有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

 

　　1.分组背包状态转移方程：f [ i , j ]  = max ( f [ i - 1 , j ] , f [ i - 1 , j - v [ i ] [ k ] + w [ i ] [ k ] )    ( k = 1 , 2 , . . . , si )

　　　　　　　　　　 一维：f [ j ] = max (  f [ j ] , f [ j - v [ i ][ k ] ] + w [ i ] [ k ] ) 

　  2.枚举背包容量需要逆序，因为不是无限次使用

 

 

#include <iostream>

using namespace std;

const int N=2e3;
int s[N],v[N][N],w[N][N];
int f[N];
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&s[i]);
        for(int j=1;j<=s[i];j++)scanf("%d%d",&v[i][j],&w[i][j]);
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=m;j>=0;j--)　　　　//逆序
        {
            for(int k=1;k<=s[i];k++)
            {
                if(j>=v[i][k])f[j]=max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]);
            }
        }
    }
    
    printf("%d\n",f[m]);
    
    
    
    return 0;
}