图解虚数 - A Visual, Intuitive Gudie to Imaginary Numbers
这是一篇发表在 betterexplained 上的文章。它通过类比、图解的方式简明地介绍了虚数的意义。
作者:Kalid
原文:A Visual, Intuitive Gudie to Imaginary Numbers
译者:文之
装载: http://www.cnblogs.com/andywenzhi/p/5723807.html
虚数总是让我困扰,就像在指数 e 的理解上,大多数解释都可以划分为这两类之中的一种:
- 它是一个数学的抽象,解决了一些等式。去好好地处理好它吧~
- 相信我们,它用于高级物理。等到大学你就可以学到了。
哈,这真是一个鼓励孩子去学习数学的一个“极佳”方式!今天,我们用一些我们最爱的工具来解决这个问题:
- 把焦点放在「关系」上,而不是数学公式;
- 将复数视为对现有数字系统的一次升级,就像曾经的 0,小数以及负数升级了当时的数字系统那样;
- 通过视觉图表而不是文本来理解概念。
以及我们的秘密武器:通过类比。我们将会通过观察它的来源、负数来了解虚数。下面便是你的指南:
有趣的事实 | 负数 (-x) | 复数(a+bi) |
---|---|---|
被发明来用来解答 | “3-4 等于多少?” | “sqrt(-1) 是多少?” |
好奇怪..因为.. | 你怎么会比空无一物还少呢? | 都空无一物了,还能求平方根吗? |
直觉上的意义 | “相反” | “旋转” |
被视为是荒谬的,直到.. | 1700s | 今天 ☺ |
累乘循环 [&一般模式] |
1, -1, 1, -1... X, -X, X, -X... |
1, i, 1, -i... X, Y, -X, -Y... |
在坐标上的应用 | 从起始开始向后移动 | 从起始开始旋转 |
测量它的大小 | 绝对值:![]() |
勾股定理:![]() |
sqrt(n) 指求 n 的平方根
现在你可能还看不懂上面的指南,但是先放在这儿。最终我们会搞定虚数 i,然后将它存放在你深深的脑海里~
真正地了解负数
负数并不简单。想像你是一位 18 世纪的欧洲数学家,你能写出 4 - 3 = 1
,这很简单。
但是,如果是3 - 4
呢?什么?这到底意味着什么呢?怎么能从 3 头奶牛中牵走 4 头呢?怎么可能比什么都没有还少呢?
负数曾被看作是荒谬的东西,是一种“使得等式的整个学说都变得灰暗”的东西(Francis Maseres, 1759)。然而在今天,把负数看成是没有逻辑或者没有用才是荒谬的。去问问你的老师,问他们负数是否改变了数学的整个根基。
这是发生了什么呢?是我们发明了一种非常有用的理论数字。我们不能触摸或者拿到负数,但是在描述某些关系时用负数非常方便(比如债务)。它是一个非常有用的设想。
相比于“我欠你 30”这种需要通过阅读词语来判断是负债与否,我可以写“-30”,这意味着我在负债。如果我挣到钱了,还清了债务(-30+1000=70),我可以轻易地就记录下这笔交易。我有 +70 的富余,这意味着我的债务还清了。
正数和负数的符号自动地追随了交易的流动方向——你不再需要一个句子去描述每一笔交易对债务带来的变化。数学变得更加简单、更加优雅。负数可不可感知、是不是真实存在不再重要——因为它们拥有有用的属性,我们使用了它直到它成为了日常生活的每一个部分。在今天,如果有人“无法接受”负数,你可以说他们真的是骇人听闻。
但是还是不要对这种艰难的转变沾沾自喜:负数曾经是一个非常巨大的思想转变。即使如欧拉,这位发现了指数 e 等更多发现的天才,也无法像我们今天这样去理解负数。当时负数被当作是“无意义的”结果(后来他弥补了这一点,令人敬佩)。
这也证明了我们的思想潜能,即今天的孩子们期望去理解那些曾经困惑了古代数学家的问题。
进入虚数
虚数有一个简单的故事。我们可以整天去解决这样的等式:
它的答案是 3 和 -3。但是如果有一个聪明的人给它添加了一个小小的符号:
阿欧~这个问题让大多数人在看到它第一眼的时候就感觉到了尴尬。你想要对一个小于 0 的数字求平方根?荒谬!(历史上这个确实是要解决的问题,但我喜欢把它设想成一个聪明的人提出来的)
这个问题看起来好像很愚蠢,就好像负数、0、无理数(不循环的数)刚开始被提出来时一定也会被认为如此愚蠢。这个问题没有“实际”的意义,对吗?
错!所谓的“虚构的数字”与其他数字一样正常:它们都是描述这个世界的工具。就像假设 -1
, .3
及 0
“存在”一样,让我们假设有一个数字 i 存在:
就像这样,你把 i 乘以 i 可以得到 -1。那现在发生了什么?
当然,首先我们会感到头痛...但是“假设 i 存在”的游戏事实上让数学变得更加简单和优雅。一种我们可以更加方便地描述的新的关系就此浮现。
你也许不相信 i,就像那些固执的老数学家们一样不相信 -1 的存在。新的、绕脑的概念都很难,不能立刻理解,即使像欧拉这样的天才都不行。但是负数告诉我们,陌生的概念依然可以很有用。
我不喜欢“虚数”这个词语——它被看作是一种侮辱,伤害了 i 的感情。数字 i 就跟其他一样数字一样正常,但是“虚数”这个名字是摆脱不了了,我们还将会用它。
图解负数和复数
正如上次我们看到的那样,等式 x^2=9 意味着:
或者:
x 是什么转换数,累乘两次,就能把 1 变成 9?
答案有两个:“x = 3”和 “x = -3”:也就是说,通过将其扩大 3 倍后再扩大 3 倍来实现。
现在让我们考虑 x^2=-1,也就是
x 是什么转换数,累乘两次,就能把 1 变成 -1?
- 我们不能乘以一个正数乘两次,因为结果还是正数;
- 我们不能乘以一个负数乘两次,因为结果在第二次乘之后会跳回至正数。
然而如果是...旋转呢!这听起来很疯狂,但是如果我们想像把 x “旋转 90 度”,乘以两次 x 的话,即为旋转 180 度,1 就会变成 -1。
呀!如果我们在想想,会发现将其在其他方向(顺时针)旋转两次也能将 1 转换为 -1。这是一个“负”旋转或者说乘以 -i:
如果我们乘以 -i 两次,第一次乘法会将 1 转换成 -i,第二次将 -i 转换成 -1。所以这里实际上有两个 -1 的平方根:i 和 -i。
这非常酷!我们有了某种形式的答案,但是它们意味着什么呢?
- i 是一个“新设想出来的维度”用来衡量数字;
- i (or -i) 是数字在旋转中“形成的”;
- 乘以 i 就是逆时针旋转 90 度;
- 乘以 -i 就是顺时针旋转 90 度;
- 两种旋转在各自的方向上都是 -1:它把我们带回了正数与负数所在的“常规”维度。
数字成二维了。这是思维的拓展,就像小数或者长除法对一个古罗马人是思维拓展一样。(你认为 1 和 2 之间的数字有什么意义?)。这是一个新奇的看待数学的方式。
我们问“我们如何用两步实现 1 转换成 -1?”然后发现了答案:将其旋转 90 度。这是一个新奇的看待数学的方式。但非常有用。(顺带提一下,直到 i 被发现后的数十年才有了这个关于复数的几何解释)。
同时也要记住逆时针旋转变成正数是一个人类的发明——有可能还存在其它更为简单的方式。
找到模式
让我们深入到一点小细节中。当乘以一个负数时(就像 -1),你会得到一个模式:
- 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1
-1 并没有改变数字的大小,只改变了符号,来来回回。而对于一些数字"x",你可以得到:
- x, -x, x, -x, x, -x...
这个概念非常有用。数字"x"可以代表一个愉快或者糟糕的一周。假设每周被分为愉快的和糟糕的,现在是愉快的一周,那么在 47 周的时候是愉快的一周还是糟糕的一周呢?
所以 -x 意味着是糟糕的一周。注意负数是如何“保持与符号的联系”的——我们可以把 (-1)^47 放到计算器里面而不用去算(“第一周愉快,第二周糟糕,第三周愉快...)。这种可以来来回回的东西可以很好地应用负数这个模型。
那好,现在如果我们持续乘以 i 会怎么样?
这非常有趣。让我们简化一点:
- 1 = 1(这里无需简化)
- i = i (这里无需简化)
- i ^ 2 = -1 (这就是 i 的全部)
- i ^ 3 = (i · i) · i = -1 · i = -i (3 次逆时针旋转等于 1 次顺时针旋转,非常好)
- i ^ 4 = (i · ) · (i · i) = -1 · -1 = 1 (4 次旋转带来了一个“整圆”)
- i ^ 5 = i ^ 4 · i = 1 · i = i (这里开始重复...)
从视觉上来看:
每次循环,我们旋转 4 次。这就有意义了,对不对?任何一个小孩子都能告诉你旋转 4 次相当于没动。现在让我们将精力放在虚数(i, i^2)上,观察这个一般的模式:
- X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y...
就像负数模型那样来回翻转,虚数可以作为 "X" 和 "Y" 这两个维度之间的任何东西的旋转模型,或者是,任何只要有循环、环状关系的东西——有什么想法了吗?
Cos it’d be a sin if you didn’t. There’ll de Moivre be more in future articles.
[译者注:作者在这里使用了双关,翻译成中文就失去了意义,此句不包含关键信息]
理解复数
这里还有一个细节要说:一个数字能既可以有“实部”又有“虚部”吗?
当然有。谁说旋转必须要旋转整个 90 度?如果我们在“实部”的维度和“虚部”的维度上各走一步,看来就是这样:
现在我们处于 45 度,在真实的部分和虚构的部分拥有相等的部分(1+i)。这就好像一个热狗同时有芥末酱和番茄酱——谁说你必须要选择了?
事实上,我们可以选择任意的实部和虚部的数字来组成一个三角形。这个角度就成为了“旋转的角度”。复数是一个有趣的名字,就是说一个数字有实部和虚部两个部分。它们被写作 a + bi,其中:
- a 是实部
- b 是虚部
这样还不错。但是有一个最后的问题:这个复数有多大呢?我们不能分开地计算实部和虚部的大小,这样就没有意义了。
让我们退回一点。一个负数的大小你也不能数出来——它是距离 0 的长度,在负数中:
这是另一种求绝对值的方式。但对于复数来说,当两个部分成 90 度时我们该如何去测量它的大小呢?
它是一只鸟,是一架飞机,它是毕达哥拉斯!
他的定理[译者注:勾股定理]出现在任何地方,甚至在他之后的 2000 年才发明了数字。我们制造了一种三角形,它的斜边就是距离 0 的长度:
非常棒!尽管测量它的大小不像“丢弃掉负数的符号”那么简单,复数依然有它们的用处。让我们看一下它的一个实例。
一个实例:旋转
我们不必等到大学物理才去使用虚数,让我们今天就来使用它。关于复数的乘法有很多可说的,但把这个记在脑海里:
- 通过乘以一个复数来旋转它的角度
下面让我们一探究竟。假设我有一条船,向东 3 个单位,向北 4 个单位的方向航行。我想将我的航行方向逆时针偏转 45 度,那么我的新方向是多少?
一些高手会说“这很简单!使用 sine,cosine...blabla...使用 tangent... blabla.. 以及...”。崩溃。抱歉,我打断了你的计算了吗?可以再重新关注一下那个问题吗?
让我们用一个简单的方法:我们现在航行在 3 + 4i(不用管什么角度,不需要关心),然后我们想偏转 45 度。那好,45 度是 1 + i(完美的对角线),这样我就可以乘以这个数量!
这里是思路:
- 初始的航行方向:向东 3 个单位,向北 4 个单位 = 3 + 4i;
- 逆时针旋转 45 度 = 乘以 1 + i;
如果我们将它们相乘,可以得到:
所以新的航行方向是向西 1 个单位(即向东 -1 个单位),向北 7 个单位,这样你就能画出来,并按照这个方向航行。
呀!我们在没有使用 sine 或 cosine 的情况下找到这个结果只花费了 10 秒钟。也没有用到向量、矩阵或者追踪我们所在的象限。它仅仅是一个使用了代数乘法的算术。旋转规则已经深深地嵌入了虚数中:这种规则是有效的。
更好的是,这个结果是有用的。我们航行在(-1, 7)而不是一个角度(arctan(7/-1)=98.13,记住我们在第二象限)。你计划画出或者跟随这个角度?在四周都用上量角器?
不行。你要把它转换为 cosine 和 sine (-.14 和 .99),找到一个合理的比率(大约在 1 到 7 之间),然后描绘出这个三角形。而复数可以迅速、准确,且在没有计算器的情况下做这件事情。
如果你像我一样,你会发现这运用了思维拓展。如果你没有...额...恐怕数学并不适合你。对不起...
三角学很伟大,但是复数可以让丑陋的计算变得简单(比如计算 cosine(a+b))。这篇文章仅仅是个预览,后续的文章会给你全餐。
另外:一些人认为“Hey,用北/东指明航行方向来替代角度指明航行方向没有多大用处!”
不是吧?好吧。你看看你的右手。小手的中间到食指的尖端的角度是多少?自己算吧,祝你好运。
而用北/东航行法,你至少可以说:“横向距离 X 英寸,纵向距离 Y 英寸”,这样还有一些机会算出它的方向。
复数不“正常”
上面快速地过了一下我在复数上的基本观点。看看文章开头的第一个表格——现在应该能看懂了。
还有非常多美妙、好玩的数字,但是我的大脑已经很疲惫了。我的目的很简单:
- 让你相信复数虽然被视为“疯狂”,但是很有用(就像曾经的负数那样);
- 展示了复数可以使某些问题变得简单,比如旋转。
如果我看起来对这个话题非常热心和关注,这里有个原因:我对虚数念念不忘很多年——对它缺少一种直观的见解,这让我很沮丧。
现在我终于有了这样的见解,我迫不及待地去分享它们。但如果你只是在一个狂热的人的博客上阅读了这篇文章,而不是在教室里,这会让我感到沮丧。我们束缚自己的疑问,缓缓前行——是因为我们没有去寻找、分享一些简洁、直观的见解。
但点亮一支蜡烛好过诅咒黑暗:这是我的想法,而且你们的其中之一也将会发出光亮。想想看,正是我们“解决”了像数字这样的问题才让我们能一直停留在罗马数字的大陆上。
这里还有更多复数的内容:查看复数算术的细节。Happy math.
后记:但是他们仍然很陌生!
我知道,复数对我来说,也依然很陌生。我试着把自己放到第一个发现 0 的人思维中。
0 是如此怪异的观点,有“0 个东西”却代表“没有东西”,罗马人避开了这个数字。复数也极其相似——它是一种新的思维方式。但是 0 和复数都让数学变得更加简单。如果我们从不采纳陌生的、新的数字系统,我们就只能靠手指数数了。
我重复了这个类比,是因为这样可以很轻易地去开始认为复数不“正常”。让我们打开思维:在未来,他们会为复数曾被不相信而轻声地笑:尽管都已经 21 世纪了。
如果你想获得更多重要的细节,访问wikipedia, the Dr. Math discussion, 或者其他关于虚数为什么存在的争论。
什么是虚数
首先,假设有一根数轴,上面有两个反向的点:+1和-1。
这根数轴的正向部分,可以绕原点旋转。显然,逆时针旋转180度,+1就会变成-1。
这相当于两次逆时针旋转90度。
因此,我们可以得到下面的关系式:
(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)
如果把+1消去,这个式子就变为:
(逆时针旋转90度)^2 = (-1)
将"逆时针旋转90度"记为 i :
i^2 = (-1)
这个式子很眼熟,它就是虚数的定义公式。
所以,我们可以知道,虚数 i 就是逆时针旋转90度,i 不是一个数,而是一个旋转量。
复数的定义
既然 i 表示旋转量,我们就可以用 i ,表示任何实数的旋转状态。
将实数轴看作横轴,虚数轴看作纵轴,就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数,必然唯一对应这个平面中的某个点。
只要确定横坐标和纵坐标,比如( 1 , i ),就可以确定某个实数的旋转量(45度)。
数学家用一种特殊的表示方法,表示这个二维坐标:用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如,把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数(complex number),其中 1 称为实数部,i 称为虚数部。
为什么要把二维坐标表示成这样呢,下一节告诉你原因。
虚数的作用:加法
虚数的引入,大大方便了涉及到旋转的计算。
比如,物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i,另一个力是1 + 3i ,请问它们的合成力是多少?
根据"平行四边形法则",你马上得到,合成力就是( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。
这就是虚数加法的物理意义。
虚数的作用:乘法
如果涉及到旋转角度的改变,处理起来更方便。
比如,一条船的航向是3 + 4i 。
如果该船的航向,逆时针增加45度,请问新航向是多少?
45度的航向就是 1 + i 。计算新航向,只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了(原因在下一节解释):
( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )
所以,该船的新航向是-1 + 7i。
如果航向逆时针增加90度,就更简单了。因为90度的航向就是 i ,所以新航向等于:
( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )
这就是虚数乘法的物理意义:改变旋转角度。
支付宝扫一扫捐赠
![支付宝扫一扫捐赠](https://images.cnblogs.com/cnblogs_com/welhzh/2159800/o_220512091701_hzh_alipay.jpg)
微信公众号: 共鸣圈
欢迎讨论,邮件: 924948$qq.com 请把$改成@
QQ群:263132197
QQ: 924948