Codechef April Challenge 2020 - A Leisurely Journry
\(f[u]\) 表示从 \(u\) 走到 \(n\) 的生成函数。
\[f[u] = \frac{\sum_{v\in e_u} f[v]*x}{1-L_ix}
\]
显然最后 \(f[1]\) 可以写成 \(\frac {A}{\prod 1-L_ix}\) 的形式。
于是就是一个线性递推，最开始的点值就是暴力 \(dp\) 的答案。
现在考虑求 \(A^t \bmod P，P = \prod (x-L_i)\) 。
如果 \(L\) 不相等，那么显然可以代入 \(L_i\) ，此时 \(L_i^t\) 就是取模后的点值，然后可以发现答案一定是 \(\sum c_i L_i^t\) 的形式。
如果 \(L\) 有相等，考虑算出来 \(H(x)=A^t \bmod (x-k)^q\) 之后，可以 \(\text{CRT}\) 合并。
\(H(x+k) = (x+k)^t\bmod x^q\)。于是我们算出 \(H(x+k)\) 的每一个位置的贡献之后就能轻松算出答案。
那么只需要算出来 \(M'*\text{inv}(M',(x-k)^q)\) 就能算出贡献了，关键是后半部分怎么求。
即给 \(F(x)\) 求一个 \(G(x)\)，满足：
\[F(x)*G(x) = H(x) P(x)+1,P(x) = (x-k)^q
\]
同理把 \(x\) 变换成 \(x+k\) 之后就是普通求逆。
注意一下卷积的均摊，这题就解决了。
复杂度 \(O(nm + n^2 + Qn\log n)\)
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9+7;
inline int add(int a,int b){a+=b;return a>=mod?a-mod:a;}
inline int sub(int a,int b){a-=b;return a<0?a+mod:a;}
inline int mul(int a,int b){return 1ll*a*b%mod;}
inline int qpow(int a,ll b){int ret=1;for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))if(b&1)ret=mul(ret,a);return ret;}
/* math */
const int N = 4010;
vector<int> e[N];
/* polynomial */
typedef vector<int> poly;
poly mult(const poly &a,const poly &b){
poly c(a.size()+b.size()-1,0);
for(size_t i=0;i<a.size();i++)for(size_t j=0;j<b.size();j++){c[i+j]=add(c[i+j],mul(a[i],b[j]));}
return c;
}
poly inv(const poly &b,int len){
poly c(len,0);int inv=qpow(b[0],mod-2);c[0]=1;
for(int i=0;i<len;i++){
c[i]=mul(c[i],inv);for(size_t j=1;j<b.size()&&i+(int)j<len;j++)c[i+j] = sub(c[i+j], mul(c[i],b[j]));
}
return c;
}
poly inv(const poly &b){return inv(b,b.size());}
poly div(poly a,poly b){
int inv=qpow(b[0],mod-2);
for(size_t i=0;i<a.size();i++){
a[i]=mul(a[i],inv);
for(size_t j=1;j<b.size();j++){
a[i+j]=sub(a[i+j],mul(a[i],b[j]));
}
}
a.resize(a.size()-(b.size()-1));
return a;
}
poly Mod(poly a,poly b){
if(a.size()<b.size())return a;
reverse(b.begin(),b.end());
int inv=qpow(b[0],mod-2);
for(int i=(int)a.size()-1;i>=(int)b.size()-1;i--){
if(a[i]){
int d = mul(a[i],inv);
for(size_t j=0;j<b.size();j++)a[i-j]=sub(a[i-j],mul(b[j],d));
}
}
a.resize(b.size()-1);
return a;
}
/* n^2 ver */
int fac[N],ifac[N];
inline void init(){
fac[0]=ifac[0]=1;for(int i=1;i<N;i++)fac[i]=mul(fac[i-1],i);
ifac[N-1]=qpow(fac[N-1],mod-2);for(int i=N-2;i;i--)ifac[i]=mul(ifac[i+1],i+1);
}
int n,m,q;
int f[N][N],l[N];
poly getpoly(){
poly cur(1,1);
for(int i=1;i<=n;i++){
poly nw(2,1);
nw[0]=sub(0,l[i]);
cur=mult(cur,nw);
}return cur;
}
poly Tran;
vector< pair<int,poly> >vec;
inline int bin(int a,int b){return mul(fac[a],mul(ifac[b],ifac[a-b]));}
poly Make(poly x,int k){//g(x) = f(x+k)
poly ret(x.size(),0);
for(size_t i=0;i<x.size();i++){
int t = 1;for(size_t j=0;j<=i;j++,t=mul(t,k))ret[i-j]=add(ret[i-j],mul(x[i],mul(bin(i,j),t)));
}return ret;
}
int pw[N];
poly Make(poly x,int k,int lenth){//g(x) = f(x+k)
poly ret(lenth,0);
pw[0]=1;for(size_t i=1;i<x.size();i++)pw[i]=mul(pw[i-1],k);
for(size_t i=0;i<x.size();i++){
for(size_t j=0;j<=i&&j<(int)lenth;j++)ret[j]=add(ret[j],mul(x[i],mul(bin(i,j),pw[i-j])));
}return ret;
}
poly iMake(poly x,int k){//g(x) = f(x+k) [inverse]
poly ret(x.size(),0);
for(size_t i=0;i<x.size();i++){
int t = 1;for(size_t j=0;j<=i;j++,t=mul(t,k))ret[i]=add(ret[i],mul(x[i-j],mul(bin(i,j),t)));
}return ret;
}
void output(poly t){
for(size_t i=0;i<t.size();i++)cout << t[i] << " ";puts("");
}
inline void CRT(poly M1,poly M,int c,int cnt){
poly q = Make(M1,c,cnt);
q=inv(q);q=Make(q,mod-c);
poly cur = Mod(mult(M1,q),Tran);
poly tp(2,0);tp[1]=1;
poly g(cnt,0);
for(int i=0;i<cnt;i++){
for(size_t j=0;j<cur.size();j++){
g[i] = add(g[i], mul(f[1][j],cur[j]));
}
cur = Mod(mult(cur,tp),Tran);
}
vec.push_back(make_pair(c,iMake(g, mod-c)));
}
void Init(){
Tran=getpoly();
sort(l+1,l+n+1);
poly trans2,trans3;
for(int u=1,v;u<=n;u=v+1){
poly p(2,1);
p[0]=sub(0,l[u]);
trans3=p;
trans2=div(Tran,p);
v=u;while(v+1<=n&&l[v+1]==l[v])++v,trans2=div(trans2,p),trans3=mult(trans3,p);
CRT(trans2,trans3,l[u],v-u+1);
}
}
int main()
{
init();
cin >> n >> m >> q;
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&l[i]);
for(int i=1;i<=m;i++){
int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);e[u].push_back(v);
}
f[n][0]=1;
for(int i=n;i;i--){
for(size_t ee=0;ee<e[i].size();ee++){
int v=e[i][ee];
for(int j=1;j<n;j++)f[i][j]=add(f[i][j],f[v][j-1]);
}
for(int j=1;j<n;j++)f[i][j]=add(f[i][j],mul(f[i][j-1],l[i]));
}
Init();
// Tran=getpoly();
// poly ans;
// for(int i=0;i<n;i++)ans.push_back(f[1][i]);
//
// for(int i=n;i<=50000;i++){
// int t=0;
// for(int j=1;j<=n;j++){
// t=sub(t,mul(ans[i-j],Tran[n-j]));
// }
// ans.push_back(t);
// }
/* bruteforce */
while(q--){
ll t;scanf("%lld",&t);
if(t<n){printf("%d\n",f[1][t]);continue;}
int ret=0;
for(size_t i=0;i<vec.size();i++){
int pw = qpow(vec[i].first,t);
int inv = qpow(vec[i].first,mod-2);
int Fc=1;
for(size_t j=0;j<vec[i].second.size();j++){
if(j)Fc=mul(Fc,(t-j+1)%mod);
int bin=mul(Fc,ifac[j]);
ret=add(ret,mul(mul(bin,vec[i].second[j]),pw));
pw=mul(pw,inv);
}
}
printf("%d\n",ret);
}
}
/*
5 5 4
6 6 1 7 6
1 2
1 3
2 4
3 4
4 5
1000 2000 3000 40000
*/
