300iq contest 2 - D

简要题意

求一个图邻接矩阵的行列式，保证边双大小 \(D\) 小于等于40。

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我们先考虑求一个带权方案数：\(行列式 * (-1)^{点数}\)，其组合意义是分成若干个环，带 \((-1)^{环个数}\) 的权

先缩点，记 \(f[i][0/1]\) 表示 \(i\) 子树内，向父亲连的桥边是否选中，带权的方案数。

向下连的桥边我们需要转化一下：考虑对每个点记录 \(d_1, d_0\) 表示是否选择桥边的带权方案数。

\(d_1\) 贡献到对角线上（连自环）， \(d_0\) 贡献到同一行其他位置即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=998244353;
inline int add(int a,int b){a+=b;return a>=mod?a-mod:a;}
inline int sub(int a,int b){a-=b;return a<0?a+mod:a;}
inline int mul(int a,int b){return 1ll*a*b%mod;}
inline int qpow(int a,int b){int ret=1;for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))if(b&1)ret=mul(ret,a);return ret;}
/* math */
const int N = 5e5+5;
int hed[N],from[N<<1],to[N<<1],nxt[N<<1],cnt=1,n,m;
inline void adde(int u,int v){
	++cnt;from[cnt]=u,to[cnt]=v,nxt[cnt]=hed[u];hed[u]=cnt;
}
bool bridge[N<<1];
int ccnt;
vector<int> ecc[N];
int dfn[N],low[N],idx[N],rnk[N],num;
inline void tarjan(int x,int pre){
	dfn[x]=low[x]=++num;
	for(int i=hed[x];i;i=nxt[i]){
		int v=to[i];if(v==pre)continue;
		if(!dfn[v]){
			tarjan(v,x);
			low[x]=min(low[x],low[v]);
			if(low[v]>dfn[x]){
				bridge[i]=bridge[i^1]=1;
			}
		}else low[x]=min(low[x],dfn[v]);
	}
}
bool vis[N];
void fin_ecc(int x,int id){
	vis[x]=1;for(int i=hed[x];i;i=nxt[i])if(!bridge[i]){
		int v=to[i];if(!vis[v])fin_ecc(v,id);
	}
	idx[x]=id;rnk[x]=(int)ecc[id].size();
	ecc[id].push_back(x);
}
vector<int> edge[N];
 
int f[N][2];
 
int det[50][50],mull[50];
 
int s[50][50];
 
int cal(int sz,int debug=0)//0 to sz
{
	// if(debug)cout << sz << endl;
	int f=(sz&1)?1:mod-1;
	// cout << f << endl;
	// if(debug)cout << ":::" << endl;
	for(int i=0;i<=sz;i++)for(int j=0;j<=sz;j++){
		if(i==j)s[i][j]=det[i][j];
		else s[i][j]=mul(det[i][j], mull[i]);
		if(debug)if(j==0)cout << mull[i] << ":";
		if(debug)cout << s[i][j] << " ";
		if(debug)if(j==sz)puts("");
	}
	for(int i=0;i<=sz;i++){
		int p=-1;
		for(int j=i;j<=sz;j++)if(s[j][i])p=j;
		if(p==-1)return 0;
		for(int j=0;j<=sz;j++)swap(s[i][j], s[p][j]);
		if(p^i)f=mod-f;
		int inv = qpow(s[i][i], mod-2);
		for(int j=i+1;j<=sz;j++){
			int c = mul(inv, s[j][i]);
			if(c)for(int k=i;k<=sz;k++)
				s[j][k]=sub(s[j][k], mul(s[i][k], c));
		}
	}
	for(int i=0;i<=sz;i++)f=mul(f,s[i][i]);
	if(debug)cout << f << endl;
	return f;
}
 
void construct(int x,int pre){
	for(size_t i=0;i<=ecc[x].size();i++){
		for(size_t j=0;j<=ecc[x].size();j++)det[i][j]=0;
		mull[i]=1;
	}
	int sz = ecc[x].size();
	int TOP = 0;
	// cout << x << "----" << endl;
	for(size_t i=0;i<ecc[x].size();i++){
		int u = ecc[x][i];
		// cout << u << " ";
		int d0=1,d1=0;
		for(int e=hed[u];e;e=nxt[e]){
			int v=to[e];
			if(idx[v]==x){
				det[rnk[u]][rnk[v]]++;
			}
			else{
				if(idx[v]==pre) TOP=rnk[u];
				else{
					// mull[rnk[u]]=mul(mull[rnk[u]],f[idx[v]][0]);
					d1=add(mul(d1,f[idx[v]][0]),mul(d0,f[idx[v]][1]));
					d0=mul(d0,f[idx[v]][0]);
				}
			}
		}
		mull[rnk[u]]=d0;
		det[rnk[u]][rnk[u]]=d1;
	}
	// puts("");
	// cout << x << "---" << endl;
	f[x][0]=cal(sz-1,0);
	det[sz][sz]=0;
	det[TOP][sz]=det[sz][TOP]=1;
	f[x][1]=sub(0,cal(sz,0));
	// cout << x << ":" << f[x][0] << ":" << f[x][1] << endl;
}
 
inline void dp(int x,int pre){
	for(size_t i=0;i<edge[x].size();i++){
		int v=edge[x][i];if(v==pre)continue;
		dp(v,x);
	}
	construct(x,pre);
}
int Type;
int main()
{
	cin >> n >> m >> Type;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);
		adde(u,v),adde(v,u);
	}
	tarjan(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)if(!vis[i]){
		fin_ecc(i,++ccnt);
	}
	for(int i=2;i<=cnt;i++){
		if(bridge[i]){
			edge[idx[from[i]]].push_back(idx[to[i]]);
		}
	}
	dp(1,0);
	printf("%d\n",(n&1)?sub(0,f[1][0]):f[1][0]);
}