一些线性代数结论的证明/记录

瞎写的一些东西，会不定期更新，就暂时鸽在这。

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Vandermonde 矩阵的行列式

结论是 \(|A| = \prod _{i<j} a_j - a_i\)

考虑已经归纳出来 \(n-1\) 行的行列式 ， 现在想要归纳出 \(n\) 行的是 \(T\)。

考虑第一行的代数余子式：

\[\begin{aligned} &\sum _t (-1)^{t-1} \prod _{1\le i<j\le n \& i,j\ne t} (a_j - a_i) * \prod_{j\ne t} a_j \\ =&\frac {T *\prod 0-a_j}{\prod a_t-a_j} \end{aligned} \]

考虑这个东西：

\[\sum \frac {\prod _{j\ne i}0-a_j}{\prod _{j\ne i}a_i - a_j} \]

和拉格朗日插值很像。

把 \(0\) 变成 \(x\) ， 这个东西就是点值为 \((a_i, 1)\) 的多项式， 显然插值结果是 \(1\) 。

于是证明完毕。