Loj #6703 - 小Q的序列

考虑朴素dp。

\[f_{i,j} = f_{i-1,j} + f_{i-1,j-1}*(j+a_i) \]

稍微转换一下下标：

\[f_{i,\Delta} = f_{i-1,\Delta -1} + (a_i+i-\Delta)f_{i-1,\Delta} \]

拆组合意义：

一个位置上乘了 \(a_i+i\) 的话代表这个位置不选，并且有 $a_i+i $ 的贡献。

然后对于剩下的 \(n\) 个数， 答案是 \(\sum g_{n,i}\) 。

其中 \(g\) 的转移：

\[g_{i,j} = g_{i-1,j -1} -j * g_{i-1,j} \]

为了方便稍微改一下，\(g_i = g_i * (-1)^i\) 。新的转移是：

\[g_{i,j} = -g_{i-1,j -1} +j * g_{i-1,j} \]

新的 dp 的组合意义是 \(i\) 个数分成 \(j\) 组的方案数，每一组有一个 \(-1\) 的贡献。

考虑 \(g_{?,j}\) 的 EGF :

\[\frac {(1-e^x)^j}{j!} \]

然后一列相当于是可以选任意个，那么就是：

\[\large e^{(1-e^x)} \]

前面可以分治 FFT，复杂度 \(O(n\log^2 n)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+5;
typedef long long ll;

const int mod=998244353;
int add(int a,int b){a+=b;return a>=mod?a-mod:a;}
int sub(int a,int b){a-=b;return a<0?a+mod:a;}
int mul(int a,int b){return (ll)a*b%mod;}
int qpow(int a,int b){int ret=1;for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))if(b&1)ret=mul(ret,a);return ret;}
/*math*/

namespace Template_poly{
	typedef vector<int> poly;
	int rev[N];
	poly poly_add(poly A,poly B){
		A.resize(max(A.size(),B.size()));
		for(size_t i=0;i<B.size();i++)A[i]=add(A[i],B[i]);
		return A;
	}
	poly poly_sub(poly A,poly B){
		A.resize(max(A.size(),B.size()));
		for(size_t i=0;i<B.size();i++)A[i]=sub(A[i],B[i]);
		return A;
	}
	void DFT(int *t,int n,int type){
		int l=0;while(1<<l<n)++l;
		for(int i=0;i<n;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
		for(int i=0;i<n;i++)if(rev[i]>i)swap(t[rev[i]],t[i]);
		for(int step=1;step<n;step<<=1){
			int wn=qpow(3,(mod-1)/(step<<1));
			for(int i=0;i<n;i+=step<<1){
				int w=1;
				for(int k=0;k<step;k++,w=mul(w,wn)){
					int x=t[i+k],y=mul(t[i+k+step],w);
					t[i+k]=add(x,y),t[i+k+step]=sub(x,y);
				}
			}
		}
		if(type==1)return;
		for(int i=1;i<n-i;i++)swap(t[i],t[n-i]);
		int inv=qpow(n,mod-2);
		for(int i=0;i<n;i++)t[i]=mul(t[i],inv);
	}
	poly NTT(poly A,int n,poly B,int m){
		static poly res,PolA,PolB;
		PolA=A,PolB=B;
		int len=1;while(len < n+m)len<<=1;
		res.resize(len);
		PolA.resize(len),PolB.resize(len);
		DFT(&PolA[0],len,1);DFT(&PolB[0],len,1);
		for(int i=0;i<len;i++) res[i]= mul(PolA[i],PolB[i]);
		DFT(&res[0],len,-1);
		res.resize(n+m-1);
		return res;
	}
	poly NTT(poly A,poly B){
		return NTT(A,A.size(),B,B.size());
	}
	poly poly_inv(poly A,int n){
		if(n==1)return poly(1,qpow(A[0],mod-2));
		int len=1<<((int)ceil(log2(n))+1);
		poly x=poly_inv(A,(n+1)>>1),y;
		x.resize(len),y.resize(len);
		for(int i=0;i<n;i++)y[i]=A[i];
		DFT(&x[0],len,1),DFT(&y[0],len,1);
		for(int i=0;i<len;i++)x[i]=mul(x[i],sub(2,mul(x[i],y[i])));
		DFT(&x[0],len,-1);
		x.resize(n);
		return x;
	}
	poly poly_inv(poly A){
		return poly_inv(A,A.size());
	}
	poly Deri(poly A){
		int n=A.size();
		for(int i=1;i<n;i++)A[i-1]=mul(A[i],i);
		A.resize(n-1);
		return A;
	}

	poly Inte(poly A){
		int n=A.size();
		A.resize(n+1);
		for(int i=n;i;i--)A[i]=mul(A[i-1],qpow(i,mod-2));
		A[0]=0;
		return A;
	}

	poly ln(poly A){
		int len=A.size();
		A=Inte(NTT(Deri(A),poly_inv(A)));
		A.resize(len);
		return A;
	}

	poly exp(poly A,int n){
		if(n==1)return poly(1,1);
		poly x=exp(A,(n+1)>>1),y;
		x.resize(n);
		y=ln(x);
		for(int i=0;i<n;i++)y[i]=sub(A[i],y[i]);
		y[0]++;
		x=NTT(x,y);
		x.resize(n);
		return x;
	}
	poly exp(poly A){
		return exp(A,A.size());
	}

	poly sqrt(poly A,int n){
		if(n==1)return poly(1,1);
		poly x=sqrt(A,(n+1)>>1),y;
		x.resize(n),y.resize(n);
		for(int i=0;i<n;i++)y[i]=A[i];
		x=poly_add(NTT(poly_inv(x),y),x);
		int inv2=qpow(2,mod-2);
		for(int i=0;i<n;i++)
			x[i]=mul(x[i],inv2);
		x.resize(n);
		return x;
	}
	poly sqrt(poly A){
		return sqrt(A,A.size());
	}
	poly rever(poly A){
		reverse(A.begin(),A.end());
		return A;
	}
	void div(poly A,poly B,poly &C,poly &D){
		int n=A.size(),m=B.size();
		poly ra=rever(A),rb=rever(B);
		ra.resize(n-m+1),rb.resize(n-m+1);
		C=NTT(ra,poly_inv(rb));
		C.resize(n-m+1);
		C=rever(C);
		D=poly_sub(A,NTT(B,C));
		D.resize(m);
	}
}using namespace Template_poly;
int n,a[N];

poly Divide(int l,int r){
	int mid = (l+r)>>1;
	if(l==r){
		poly ret(2,1);ret[1]=a[l];
		return ret;
	}return NTT(Divide(l,mid),Divide(mid+1,r));
}
poly A,B;
int main()
{
	cin >> n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		a[i] += i;
	}
	A=Divide(1,n);
	B.resize(n+2);
	for(int i=1,_f=1;i<=n+1;i++){
		_f=mul(_f,i);
		B[i] = mod-qpow(_f,mod-2);
	}
	B=exp(B);
	for(int i=1,f=1;i<=n;i++){
		f=mul(f,i);
		B[i] = mul(B[i],f);
	
	}
	int ans = 0;
	for(int i=0;i<=n;i++){
		int rest = n-i,d=mod-1;
		if((rest-1)%2)d=1;
		ans = add(ans, mul(d, mul(A[i], B[n-i])));
	}
	cout << sub(ans,1) << endl;
}