SG函数模板
SG函数模板
首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 },这里的g（x）即sg[x]
例如：取石子问题，有1堆n个的石子，每次只能取{1，3,4}个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？
sg[0]=0，f[]={1,3,4},
x=1时，可以取走1-f{1}个石子，剩余{0}个，mex{sg[0]}={0}，故sg[1]=1;
x=2时，可以取走2-f{1}个石子，剩余{1}个，mex{sg[1]}={1}，故sg[2]=0；
x=3时，可以取走3-f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，mex{sg[2],sg[0]}={0,0}，故sg[3]=1;
x=4时，可以取走4-f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;
x=5时，可以取走5-f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3；
以此类推.....
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....
sg[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....
计算从1-n范围内的SG值。
f(存储可以走的步数，f[0]表示可以有多少种走法)
f[]需要从小到大排序
1.可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);
2.可选步数为任意步，SG(x) = x;
3.可选步数为一系列不连续的数，用GetSG()计算
模板1如下（SG打表）：
1 //f[]：可以取走的石子个数
2 //sg[]:0~n的SG函数值
3 //hash[]:mex{}
4 int f[K],sg[N],hash[N];
5 void getSG(int n)
6 {
7 memset(sg,0,sizeof(sg));
8 for(int i=1; i<=n; i++) {
9 memset(hash,0,sizeof(hash));
10 for(int j=0; f[j]<=i && j < k; j++) //k是f[]的有效长度
11 hash[sg[i-f[j]]]=1;
12 for(int j=0; ; j++) { //求mes{}中未出现的最小的非负整数
13 if(hash[j]==0) {
14 sg[i]=j;
15 break;
16 }
17 }
18 }
19 }
模板2如下（dfs）：
1 //注意 S数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍
2 //n是集合s的大小 S[i]是定义的特殊取法规则的数组
3 int s[N],sg[N],n;
4 int getSG(int x)
5 {
6 if(sg[x]!=-1)
7 return sg[x];
8 bool vis[M];
9 memset(vis,0,sizeof(vis));
10 for(int i=0; i<n; i++) {
11 if(x>=s[i])
12 vis[getSG(x-s[i])]=1;
13 }
14 for(i=0;; i++)
15 if(!vis[i]) {
16 sg[x]=i;
17 break;
18 }
19 return sg[x];
20 }
