算法设计方法-动态规划

前面介绍了一个比较常用的算法设计技术，分治法，当碰到一个实际的问题时，看能够利用分治法解决，分治法适应于解决子问题独立且不重叠的，但是如果子问题出现重叠就不利用分治法了。这里介绍另外一种算法设计方法，动态规划，这种算法设计方法虽然基本思想和分治法很相似，划分子问题，通过子问题解决更高层的问题。但是两者明显的区别在于动态规划划分的子问题具有重叠的性质（不过独立性还是要保证的），而且一般用于解决最优化的问题~

动态规划算法的解决步骤：

1、我认为首先比较重要的还是正确的抽象化问题，然后得到问题的最优子结构。有一部分题目的描述方式完全是文字化的描述，这时就先抽象出其中的数学结构，然后根据数学结构得出问题的最优子结构，

2、根据第一步中抽象出的公式化描述和最有子结构，可以简单正确的写出最有子结构的递推式。但是如果第一步中抽象化方法不完美很难写出递推式的，书中的问题很多都是抽象出好数学结构了，所以我认为还是要多加联系数学化一个问题的表达，

3、根据第二步的递推式自底向上进行计算得出最优解。因为动态规划的一个特征是具有重叠子问题，虽然递归的程序实现可以帮助程序容易实现，但是这里如果利用递归，需要重复解决子问题，时间复杂度可能仍是指数级的，后面会介绍一个记账法，帮助解决重复计算，不过还是建议自底向上计算，

4、这个一般是可选步骤，到第三步已经得出最优解了，但是如果要构造出最优解，必定要在算法执行过程中相应的做一些记录，这样第四步就是利用这些记录来构造出一个最优解的具体解决方案。

发现最优子结构的方法：

1、做一个选择将问题分割为一个或者多个子问题，这里是试探的随便选择

2、接着假设你的这个选择就是一个最优的选择

3、在已经做了这个选择之后，确定哪些子问题会随着发生，以及如何最好地描述所得到的子问题空间

4、利用一种“剪贴”技术，证明在问题的一个最优解中，使用的子问题的解本身也必须是最优的。

描述子问题空间可以遵循一个经验规则，尽量保持这个空间简单，然后在需要时扩充它。

上面有些描述很难理解，最优子结构的发现方法摘自算法导论，我仍没能理解子问题空间这个概念，接下来还是通过具体的例子自己领悟一下其中的道理。

第一个装配线问题，问题描述如上图，根据题目可以看到题目已经抽象化了，接下来只需要针对问题找出最优子结构，然后写出递归式，有了递归式就可以完成伪代码，伪代码到代码的转换整个流程就非常的流畅了。

首先考虑最快的方案必定是第一条线的结尾S_1,n+x1和S_2，_n+x2取小的值，及为最快的值。所以问题转换为求到达S_1,n和S_2，_n的最小值，这里分解问题，将问题规模缩小可以看到到达S_1,n经过了S_1，n-1或者S_2，n-1，但是这里的任何n的S_1,n都是最短路径，如果S_1，n-1不是最短的，利用剪切的技术，必定存在另外一个更短的S_1，n-1路径替换S_1，n-1，所以能够S_1,n更短，但是S_1,n已经是最短的了，所以S_1，n-1最快的路径，所以这里最优子结构已经找出，接下来是递归式，根据上面的总结写出递归式也不是太难：

根据以上结构伪代码也比较简单的实现：

代码执行结束之后的数据记录：

这里为了还原出最快路径，l是必须保存的，而且不能省略，但是这里的f的中间记录可以节省一些空间，因为计算某位的时候只用到前一位，所以只需要常数的存储空间即可。其实后面很多都是可以节省一部分存储空间的，但是一般算法的设计考虑的是时间效率，空间考虑比较少，甚至不考虑。

还原路径：

递归的正确方向还原路径：

PRINT-STATIONS(l,j,n)
    i = l*
    if j=0
        return
    else
        if(j>1) i=li[j]
    PRINT-STATIONS(l,j-1,n)
    if j=n
        i=l*
        print i
    else
        i=li[j+1]
        print i

第二个问题是矩阵链乘积结合问题