摘要：
扩展欧拉定理 $$ a^b\equiv \begin{cases} a^{b \bmod \varphi(m)} & (a,m)=1\ a^b & (a,m)\neq 1,b<\varphi(m)\ a^{b\bmod\varphi(m)+\varphi(m)} & (a,m)\neq 1,,b\g 阅读全文
摘要：
定义 群是由一个集合 $G$ 和一个作用于 $G$ 上元素的运算 $\ast$ 所组成的，满足如下性质的代数结构（有时会略去封闭性）： 封闭性：$\forall a,b\in G,a\ast b\in G$。 结合律：$\forall a,b,c\in G,(a\ast b)\ast c=a\ast 阅读全文
摘要：
运算律 与或异或分别满足交换律和结合律，但有两种同时出现时好像就都不满足了。 异或 异或的逆运算是它本身（参看各种解怪题选择性报告中树上异或路径）。 从这一性质出发，可以有一个推论：如果只考虑异或路径长度，那么图上的许多边是等价的。 譬如异或边生成树问题，使用类 Kruskal 算法（这里指逐渐加边 阅读全文
摘要：
概述 遗传算法是一种模拟演化的近似算法。 顾名思义，它模拟大量的样本，周期性地繁衍、遗传、变异、筛选。 “状态”有时在遗传算法中是对象的一个属性。 思路 周期性地将从旧有的样本中选取较优的（譬如前 $10%$），以它们为基础生成大量的新样本。 如果想要制造更好的随机性，可以考虑从不那么优的样本中也随 阅读全文
摘要：
概述 模拟退火是一种模拟物理学中材料退火现象的近似算法。 在物理的退火过程中，随着温度的逐渐降低，各粒子的能量会趋向性地稳定在最小值附近（但也有概率反常升高）。 于是我们尝试构建一种算法来模拟退火过程，对于每个状态，其估价函数越好，“能量”越低，反之亦然。 而温度就是体系活跃程度，即愿意改变状态的程 阅读全文
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概述 爬山算法是一种基于局部择优进行转移的近似算法。 具体来讲，它尝试利用深度优先搜索的反馈信息，来将搜索过程从盲目的变为启发性的，从而获得效率上的提高（和正确性上的降低）。 说人话就是，尽管我们不知道最优状态，但我们根据当前的信息，尽可能地判断出可达的所有状态（可能很宽泛）中，哪个期望意义下（可能 阅读全文
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概述 现实是复杂而困难的。 很多问题是 NP 的。 同样很多的问题我们连它们是不是 NP 都不知道。 更多的问题我们甚至无法把它归约到某种逻辑学的形式上，更无从谈起了。 但是，我们还是想知道。我们还是想知道： 这个命题是否很可能/很不可能是真的？ 这个问题的足够优秀的解/决策集是怎样的？ 于是我们考 阅读全文
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概述 随机探测通过用随机的探针测试某个黑箱，来获得该黑箱高度可能的状态。 太抽象？没关系。就来例题。 例题 测素 给定一个数，判断它是否是质数。 我们知道，由费马小定理，$p$ 是质数是 $\forall x<p,x^{p-1}=1$ 的充分条件。 尽管这不必要，但事实上我们可以期望 $\foral 阅读全文
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概述 随机选择通过随机地取总数据的某一部分，来尝试着获取总体数据或总体数据的代表性部分的信息，恰如抽样调查。 例题 CodeChef MSTONE 题意：给出落在 $7$ 条直线上的 $n$ 个点（有些点可能是交点），求点数最多的那条直线上的点数。 数据范围： $T\leqslant 30$。 $n 阅读全文
摘要：
概述 如果元素满足某种序，那么在排序后我们可以直接得到答案。但事实上，大部分情况下没有这么优美的结论。 虽然如此，我们还是可以猜测将元素按某种逻辑排序后，答案的来源（可能是序列中的某几个元素）不会相距太远。 故我们可以用某种逻辑较随机地多次排序，以期望获得高度近似的答案。不过，正确率就...不可知了 阅读全文