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2023年2月8日
图论杂项
摘要： 竞赛图 姑且先挂载在这里。 性质 1：竞赛图缩点所得必为一条链，链上的重构点称为 Tier，Tier 1 是拓扑序最高的。 性质 2：出度最大的点必然在 Tier 1 中。 将所有点分为三类，第一类是出度最大的某个点 $u$，第二类是被 $k$ 直接指向的点，第三类是剩余的点。 不妨设存在点 $v$ 阅读全文
posted @ 2023-02-08 13:56 未欣 阅读(16) 评论(0) 推荐(0) 编辑
自动机
摘要： 概述 自动机是一种对信号序列进行判定的数学模型。 信号序列：一串有序的信号，例如字符串。 判定：指输出为 $0/1$（在输入的信号序列可识别的前提下）。在 OI 中的自动机一般是广义的，即输出是任意的，具体来讲可能是在合法时输出对应方案的权值之类。 一般来讲，自动机可以抽象为一个有向图，点为状态，边 阅读全文
posted @ 2023-02-08 08:03 未欣 阅读(98) 评论(0) 推荐(0) 编辑
2023年2月7日
定期重构
摘要： 概述 有时，我们维护的数据结构是静态的，但题目却要求加/删。 如果题目满足元素互相独立，则考虑定期重构吧！ 加入：将加入但还未整合到数据结构中的元素放入一个栈中，询问时暴力扫这个栈，到达阈值后将栈整合入数据结构，重新 build 一遍即可。 删除：考虑反演，我指的是算贡献（这要求贡献满足可减性，不过 阅读全文
posted @ 2023-02-07 18:03 未欣 阅读(72) 评论(1) 推荐(0) 编辑
LCA 与树上差分
摘要： 概述 LCA（least common ancestor），最近公共祖先的英文缩写。 顾名思义，LCA 就是树上两个点最近的公共祖先，或者说两个点共同在的极小子树的根。 树上差分则是利用树本身的结合性（显然树不满足差分性，是点到根的链满足差分性）与 LCA 结合做的操作，譬如给某个路径上所有点 $+ 阅读全文
posted @ 2023-02-07 09:51 未欣 阅读(51) 评论(0) 推荐(0) 编辑
长链剖分
摘要： 概述 长链剖分通过把树剖成尽量长的多个链，高效地解决...我也不知道解决啥（长剖优化 DP 的东西在 DP 优化那边）。 毕竟这个东西，不具备启发式分裂的复杂度。不过其还是有一点性质的，有时候确实会用到... 恰如轻重剖是按 $siz$ 选重儿子，长剖是按 $dep$（这里指当前子树的最大深度）来选 阅读全文
posted @ 2023-02-07 09:45 未欣 阅读(23) 评论(0) 推荐(0) 编辑
轻重链剖分
摘要： 概述 轻重链剖分通过将树剖分为若干条重链和它们之间相连的轻边，将树上路径问题转化成序列问题。 具体来讲，有很多树上路径问题本质上是把序列上的问题搬到了树上，此时我们可以进行轻重链剖分（后简记为轻重剖或重剖），将树上路径拆分为多条重链头尾相接，并通过能快速维护重链信息的数据结构来求解。 重剖方式如下： 阅读全文
posted @ 2023-02-07 09:39 未欣 阅读(26) 评论(0) 推荐(0) 编辑
2023年2月6日
前缀函数与 KMP
摘要： 前缀函数 前缀函数 $\pi_i$ 为 $s_{1\dots i}$ 的最大相同真前后缀长度。 如无特别说明，本文中所有字符串下标从 $1$ 开始，长度为 $n$。 考虑怎么求前缀函数。 首先肯定能想到暴力的 $O(n^3)$ 枚举 $i,len,j$ (子串长度，匹配长度，然后一位位验证)。但太蠢 阅读全文
posted @ 2023-02-06 11:20 未欣 阅读(59) 评论(0) 推荐(0) 编辑
2023年2月2日
AC 自动机
摘要： 概述 坐，都坐。我知道各位都很激动，但这个缩写的全称是 Aho-Corasick automaton，AC 是两位发明者的姓氏，automaton：自动机。 AC 自动机通过将 trie 的结构和 KMP 的思想结合起来，利用 trie 的结构存储多模式串（或者说构建对应的图论模型），然后将 KMP 阅读全文
posted @ 2023-02-02 17:32 未欣 阅读(146) 评论(0) 推荐(0) 编辑
字符串
摘要： 字符串哈希 字典树 前缀函数与 KMP AC 自动机 Z 函数（扩展 KMP） manacher 算法 后缀数组 阅读全文
posted @ 2023-02-02 16:50 未欣 阅读(29) 评论(0) 推荐(0) 编辑
2023年1月30日
结合律优化
摘要： 概述 结合律优化通过将冗长的转移用结合律压缩，高效实现...取某一段的 dp 结果？也可以带修。 实现原理 首先，对应 DP 要满足结合律，即各部分转移的形式相互独立。典型的反例譬如求可行性的背包问题。 然后上线段树。视情况不同，可能是基于矩阵的 DDP 或纯粹靠复杂线段树的...线段树优化 DP？ 阅读全文
posted @ 2023-01-30 19:55 未欣 阅读(14) 评论(0) 推荐(0) 编辑
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