摘要：
二叉查找树（BST,binary search tree） 概述 二叉查找树是一种建立在一个数组（序列）上并用于对其的高效查找的二叉树。 满足以下条件的一棵树是二叉查找树： 空树是二叉查找树。 二叉查找树的任意一棵子树还是一个二叉查找树。 二叉查找树的每一个节点都对应着原数组的某个节点（并存储相应的 阅读全文
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概述 博弈论研究的主要是具有竞争或对抗性质的对象，在一定规则下产生的各种行为。 在 OI 中，其的表现主要是两个足够聪明的人（即总是做出最优决策）按某种规则进行一个游戏，对不同的初始局面研究胜负情况。 通常我们使用以下两个维度来划分游戏：公平/非公平，正常/反常。但我们先不讨论它们的区别，我们在定义 阅读全文
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素数与同余 素数个数定理 记 $\leqslant x$ 的素数个数为 $\pi(x)$，则有 $\pi(x)\sim\dfrac{x}{\ln x}$。 不会证。微积分？ 数列 Fibonacci 数列 $$\gcd(F_n,F_m)=F_{\gcd(n,m)}$$ 证明如下： 定理 $1$：$\ 阅读全文
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概率 概述 概率即随机事件出现的可能性大小。 性质 概率满足贝叶斯公式，但这和 OI 没啥关系。 对于相互独立的事件，概率满足加法原理和乘法原理。 这里的加法原理指求多个事件至少发生一个的概率，乘法原理指某些事件同时发生的概率。 对于独立事件，可以表示为：$P(B\mid A)=P(A),P(A\t 阅读全文
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待补。 阅读全文
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概述 容斥原理是正难则反思想的实践产物。（23.1.15 upd：存疑） 即，在正向求解问题过于困难时，考虑逆向求出不合法方案数，然后用总方案数减去以得到合法方案数。 大体上，可以分为以下两类： 子集容斥 一般的容斥原理指的就是子集容斥。其是如下的一种容斥： 不妨称“合法”为满足 $k$ 个条件，并 阅读全文
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BSGS（大步小步法） BSGS 可以在 $O(\sqrt{p})$ 的时间内求解满足 $a^x\equiv b\pmod p$ 的 $x$，其中 $a\perp p,x>0$。 实现原理： 尝试进行和整除分块异曲同工的变换。$a^x\equiv b\Leftrightarrow a^{k\time 阅读全文
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扩展欧拉定理 $$ a^b\equiv \begin{cases} a^{b \bmod \varphi(m)} & (a,m)=1\ a^b & (a,m)\neq 1,b<\varphi(m)\ a^{b\bmod\varphi(m)+\varphi(m)} & (a,m)\neq 1,,b\g 阅读全文
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定义 群是由一个集合 $G$ 和一个作用于 $G$ 上元素的运算 $\ast$ 所组成的，满足如下性质的代数结构（有时会略去封闭性）： 封闭性：$\forall a,b\in G,a\ast b\in G$。 结合律：$\forall a,b,c\in G,(a\ast b)\ast c=a\ast 阅读全文
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运算律 与或异或分别满足交换律和结合律，但有两种同时出现时好像就都不满足了。 异或 异或的逆运算是它本身（参看各种解怪题选择性报告中树上异或路径）。 从这一性质出发，可以有一个推论：如果只考虑异或路径长度，那么图上的许多边是等价的。 譬如异或边生成树问题，使用类 Kruskal 算法（这里指逐渐加边 阅读全文
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概述 遗传算法是一种模拟演化的近似算法。 顾名思义，它模拟大量的样本，周期性地繁衍、遗传、变异、筛选。 “状态”有时在遗传算法中是对象的一个属性。 思路 周期性地将从旧有的样本中选取较优的（譬如前 $10%$），以它们为基础生成大量的新样本。 如果想要制造更好的随机性，可以考虑从不那么优的样本中也随 阅读全文
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概述 模拟退火是一种模拟物理学中材料退火现象的近似算法。 在物理的退火过程中，随着温度的逐渐降低，各粒子的能量会趋向性地稳定在最小值附近（但也有概率反常升高）。 于是我们尝试构建一种算法来模拟退火过程，对于每个状态，其估价函数越好，“能量”越低，反之亦然。 而温度就是体系活跃程度，即愿意改变状态的程 阅读全文
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概述 爬山算法是一种基于局部择优进行转移的近似算法。 具体来讲，它尝试利用深度优先搜索的反馈信息，来将搜索过程从盲目的变为启发性的，从而获得效率上的提高（和正确性上的降低）。 说人话就是，尽管我们不知道最优状态，但我们根据当前的信息，尽可能地判断出可达的所有状态（可能很宽泛）中，哪个期望意义下（可能 阅读全文
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概述 现实是复杂而困难的。 很多问题是 NP 的。 同样很多的问题我们连它们是不是 NP 都不知道。 更多的问题我们甚至无法把它归约到某种逻辑学的形式上，更无从谈起了。 但是，我们还是想知道。我们还是想知道： 这个命题是否很可能/很不可能是真的？ 这个问题的足够优秀的解/决策集是怎样的？ 于是我们考 阅读全文
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概述 随机探测通过用随机的探针测试某个黑箱，来获得该黑箱高度可能的状态。 太抽象？没关系。就来例题。 例题 测素 给定一个数，判断它是否是质数。 我们知道，由费马小定理，$p$ 是质数是 $\forall x<p,x^{p-1}=1$ 的充分条件。 尽管这不必要，但事实上我们可以期望 $\foral 阅读全文
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概述 随机选择通过随机地取总数据的某一部分，来尝试着获取总体数据或总体数据的代表性部分的信息，恰如抽样调查。 例题 CodeChef MSTONE 题意：给出落在 $7$ 条直线上的 $n$ 个点（有些点可能是交点），求点数最多的那条直线上的点数。 数据范围： $T\leqslant 30$。 $n 阅读全文
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概述 如果元素满足某种序，那么在排序后我们可以直接得到答案。但事实上，大部分情况下没有这么优美的结论。 虽然如此，我们还是可以猜测将元素按某种逻辑排序后，答案的来源（可能是序列中的某几个元素）不会相距太远。 故我们可以用某种逻辑较随机地多次排序，以期望获得高度近似的答案。不过，正确率就...不可知了 阅读全文
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概述 某些题目的数据，如果顺序随机，将会有非常美妙的结论。 但显然，除非写了“保证数据随机”（事实上，没给 generator 的随机都可以认为是构造...），否则出题人不会这样给数据。 此时就要考虑将数据重排，以获得较优的效果。 如何随机打乱？ 给出一种均匀随机的打乱算法及证明： template 阅读全文
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概述 强化反复是一种随机化思想。 具体来讲，有时题目中的限制过于复杂，无法处理或处理的复杂度不可接受。 此时可以考虑通过随机化地加强限制获得一个较可做的条件，然后多次反复，只要有一次恰好是答案就算成功。 注意，这种“加强限制”指的是将原限制简化规约到某个较强的限制上，必须保证对于所有弱限制下的可能解 阅读全文
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强化反复 随机打乱 随机排序 随机选择 随机探测 阅读全文