线段树分裂合并

概述

• 线段树分裂这里暂时没有。

• 线段树合并是指将管辖范围相同的两棵线段树对位（节点意义下）合并。

线段树合并

• 线段树合并支持各种统计子树的操作。

  • 详细来讲就是，考虑某个题目给出一棵树（相对于普通线段树题目的数组而言，这里是每个树上点都对应着一个数组，不过父子之间数组差异往往较小），然后要询问某些子树中的结合性问题。

  • 首先肯定有一种暴力做法就是对于每个子树都建一棵树。不过显然即使动态开点也会 $MLE$，时间复杂度更不必谈了，建树远高于 $n{\log }_{2}n$（因为大部分线段树要处理复数个数组）。

  • 考虑利用树的性质：当前子树的结合性问题解=结合解(当前点，各个子树）。这种结合往往就是节点对位相结合，最多再维护一下。

  • 所以我们先给每个点开一棵线段树（动态开点，不必真的开出来）。然后自上而下 dfs 一遍，先递归求解子树内的问题，然后将子树的线段树合并到当前节点上，最后回答当前子树的问题。

实现原理

离线线段树合并

• 合并后子树的线段树的信息丢失，必须离线问题，自下而上回答（当然实际操作是 dfs 递归求解）。优点是空间（合并时不会开新节点）。

• 先放代码，这也是典型的不看代码就是虚空讲解的算法。

il int merge(int now1,int now2,int l,int r){
	if(!now1 || !now2) return now1|now2;
	if(l==r){sum[now1]+=sum[now2]; return now1;}
	ls[now1]=merge(ls[now1],ls[now2],l,mid);
	rs[now1]=merge(rs[now1],rs[now2],mid+1,r);
	pu(now1); return now1;
}

• 可以看到，这种合并的核心原理是如果都有就把第二棵的加到第一棵上，如果一方没有就直接模仿主席树进行连边（如果本来就是$now1$的子树就不用重新连边了）。

• 可见，一定不会新建节点，只有一方有的节点不会进入。纸面单次合并复杂度为 $O(n_{both}{\log }_2{n}_{both})$，即总共同节点数。

• 实际上，假设整棵树一共操作了 $n$ 次（必须是单点修改，或者说每次修改至多开满一条独特链），那么将所有线段树合并成$1$个的总复杂度是大常数 $O(n{\log }_{2}m)$。

• 这一结论可以通过势能分析给出：

  • 合并开始前的 $n$ 次操作每次至多开满一条链，线段树高 ${\log }_{2}m$，总复杂度 $O(n{\log }_{2}m)$。

  • 合并时，每个节点都至多被 dfs 到一次，因为假如两者都有某节点那其中某个节点就再也不用，只有一方有的节点根本没有进去（$O(1)$ 连边可以算成它父亲节点的常数，不影响，毕竟线段树是二叉树）。既然总点数至多为 $O(n{\log }_{2}m)$，那么合并的总复杂度也就是大常数 $O(n{\log }_{2}m)$。

在线线段树合并

• 模仿主席树，每次合并出的新树是一个新根，相加的点是新建的，只有一方的点是连边，然后以后再修改就和主席树一样。

• 从而子树的线段树信息不丢失，可以在线回答问题。

• 时间复杂度和上面基本一样（只有一方的点也是不进），但常数略大（开新点）。

• 空间复杂度等于时间复杂度（访问到的点数也就是新开的点数，最多三倍罢了）。我还没写过，写了会补上。

例题

P4556 [Vani有约会]雨天的尾巴 /【模板】线段树合并

• 维护区间最大数的 $pos$。

P3224 [HNOI2012]永无乡

• 不断进行合并，维护连通块（并查集）中的第 $k$ 小。

线段树分裂

• 鉴于我现在不想写博客，我们只扔一下代码并说一下注意事项：

il void splitv(int now,int l,int r,int k,int &x){
	x=newnode();
	if(k<=mid){
		a[x].rs=a[now].rs,a[now].rs=0;
		if(l==r) return;
		splitv(a[now].ls,l,mid,k,a[x].ls);
	}
	else{
		a[now].ls=a[now].ls,a[x].ls=0;
		if(l==r) return;
		splitv(a[now].rs,mid+1,r,k,a[x].rs);
	}
	pu(now),pu(x); return;
}

• 这是一个按值域分裂的例子。有理由认为按数量分裂也是可以的。

• 在传统的 fhq 分裂中，我们会有 &x,&y。但这里我们却钦定保留在 $now$ 处，理由主要在于，如果把 &x 置为 $rt$ 一路操作过来的话，因为两者都取引用，故两者无法分成真正的两个东西（除非不让 $y=now$）。故必须以这种方式实现。