最小割

概述

• 最小割在实质上是一种很...精妙的模型，与状压中的依赖式问题一样，都在一定程度上反映着决策之间的矛盾。

• 每一条从 $S$ 到 $T$ 的路径，其上的边都满足某种矛盾关系，必有一条边删掉。

• 根据对应边是实际边（即希望参与删除的）还是结构边（即为构成路径而添加的虚边或不许删的边，不希望参与删除），可以控制容量来调整删谁。

最大流最小割定理

• 对任意网络，其最大流流量等于其最小割容量。

• 证明：

  • 首先，容易证明 $minc(S,T)⩾maxf(S,T)$。

    • 不妨假设 $\mathrm{\exists }c(S,T)<maxf(S,T)$，于是将 $c$ 中所有边（注意网络上其实只有正边，反边是我们为了退流构造的虚边）都从网络上删去。

    • 显然这最多使 $f(S,T)$ 减少 $c(S,T)$，于是 $f^{\prime }>0$，故 $S,T$ 仍然连通（有增广路），与前设不符。

  • 下面给出构造证明总有 $minc(S,T)=maxf(S,T)$。

  • 在一个已经跑完最大流的残量网络上，我们从 $S$ 出发进行 bfs（相当于做一遍 EK 来推流，这里只使用有容量的边），标记所有能到达的点。

  • 对于所有满流边（这里不存在反边这种东西！但 bfs 的时候是会用有容量的反边的），如果其起点被标记而终点未被标记，则该边在我们的最小割中，否则不在。

  • 注意，这不等价于取每条有流量的路径上的最左满流边边为割边（认为 $S$ 在左边）！可能会绕后。

  • 合法性：

    • 容量为 $0$ 的边集一定是合法割的超集。

      • 使用反证法。假设它们不足以构成一个割，则还存在其他路径。

      • 既然满流边都容量为 $0$ 也即相当于 ban 掉了，则对应路径上每条边都不满流，于是该路径为增广路，不符合已求出最大流的前设。

    • 然后，所有取到的边其实足以堵住所有流。

      • 若某条满流边的 $s$ 就没有被标记，说明更靠前（这个更靠前指的是，唔，大概是分层图意义上的）的满流边已经把它的来源堵住了，换言之它堵在这里是架不到人的。

      • 于是取出的边集足够作为一个割。

  • 最优性：

    • 考虑递归这个问题，每次随意选一条我们认为在最小割中的边，将它在图上删去，最大流流量一定减小 $f(s,t)$，且其他我们选中的边的 $f(s,t)$ 不变。

    • 前者显然，后者不妨反证法：

    • 首先注意到每条有流量路径上有且仅有一条边在最小割内，如果无则有流量，如果 $>1$ 则删去更小。

    • 对于一条有流量路径，其一定是前缀被标记。不妨假设其不是前缀被标记，由其有流量可知每条边的反边都有容量，于是较后的标记点会把较前的未标记点标记，矛盾，故一定是前缀被标记。

    • 如果某条边的 $f(s,t)$ 变化，则说明其一定和删去边共有流量路径；而上面的只标记前缀告诉我们，这条路径上的标记-无标记边一定只有一条，换言之只会有一条在我们认为的最小割中，矛盾，故 $f(s,t)$ 一定不变。

    • 那么这样删下来，得到的恰为选中边的 $\sum f$，又它们都是满流边且 $f$ 不变，故 $\sum f=\sum c$，又由割的定义，我们这样一条一条删一定有 $\sum f=f(S,T)$（$f$ 是那条边被删去时它的流量），于是 $\sum c=f(S,T)$，原命题得证。

  • 另外，由于 Dinic 中我们会 bfs 判增广路存在性，不存在则返回最大流量，所以其实这个 bfs 做过了，直接用 Dinic 的 bfs 的结果就好。

• 注意：“最小割在数值上与最大流相等，但在本身性质上与最大流无任何关系。”不要落入最大流的窠臼！

例题

P1345 [USACO5.4] 奶牛的电信 Telecowmunication}

• 题意：

  • 给定一张 $n$ 点 $m$ 边的无向图。

  • 定义“删去一个点”为将一个点及与其相连的所有边删去。

  • 问令 $s,t$ 不连通至少要删去多少个点。

• 数据范围：$n⩽100,m⩽600$。

• 这是一道非常棒的最小割入门题。

• 我们看到，正常的网络是要删边，这里却是要删点。局面顿时复杂不少。

• 我会拆点！把无向边拆成有向边，把每个点拆成 $i{n}_v,ou{t}_v$，$i{n}_v$ 接受所有入边，然后连一条出边到 $ou{t}_v$，$ou{t}_v$ 发出所有出边。

• 不错。可是我们要怎么做才能确保一定不会删到 $i{n}_v\to ou{t}_v$ 以外的其他正常边？

• 这就到流量发威的时候了。令原有边的容量为 $inf$，虚边的容量为 $1$。问题解决。

• 最后边数大概在 $2m+n$，总复杂度还是 $O(n^{2}m)$。

P1361 小M的作物

• 题意：

  • 有 $n$ 种作物，第 $i$ 种种在田地 $A$ 中收益 $a_i$，种在 $B$ 中收益 $b_i$。

  • 另有 $m$ 种组合，如果第 $i$ 个组合中的作物共同种在 $A$ 或 $B$，则有 $c_{a,i}$ 或 $c_{b,i}$ 的额外收益。

  • 求最大总收益。

• 数据范围：$n⩽{10}^3,m⩽{10}^3$。

• 首先很容易想到把每个作物开一个点，把 $A$ 作为 $S$，$B$ 作为 $T$，自 $A$ 向每个作物连容量为 $a_i$ 的边，自每个作物向 $B$ 连容量为 $b_i$ 的边。

• 可是，组合怎么办？考虑先对每个组合建一个点，然后和上面一样地连边，毕竟互相矛盾。

• 接下来，$A$ 一侧的组合和所有组合中作物连向 $B$ 的边矛盾...所以从组合点向所有作物连容量为 $inf$ 的边。

• 于是构成了 $A\to \text{组合}\to \text{很多作物}\to B$ 的路径，要么放弃 $A\to \text{组合}$ 的容量，要么放弃 $\text{很多作物}\to B$ 容量。

• 可是难道...也从所有作物向组合连边？不对。得把组合开两个虚点，分别处理。

  • 解释一下原因，毕竟我在这里挂了一次：

  • 这样做就会出现 $inf$ 权环，考虑 $S\to 1,2,\to T$，$1,2\to 4,4\to 1,2$ 的情况，其中 $4$ 为组合的虚点。

  • 于是此时存在一条路径 $S\to 1\to 4\to 2\to T$，$S\to 1$ 和 $2\to T$ 矛盾了，和我们的需求不符。

• 这里因为网络流要建反边所以会有重边，但是网络流重边不敏感。

• 于是 $\sum v-\sum _{e\in E^{\prime }}c(e)$ 即为答案。

• 谈一下复杂度：建完图之后点数上界 $3\times {10}^3+2$，边数上界 $2\times {10}^6+4\times {10}^3$，乍一看网络流复杂度是一定炸掉的。

• 但是这里图只有两层，Dinic 几乎没有外层复杂度。虽然内层的 $O(nm)$ 也趋于 $4\times {10}^9$，看起来毫无希望，但事实上边数那么多的话图就极其稠密，已经趋于 $n^2$ 了。

• 那么显然我们可以期望 Dinic 发挥出它强大的 $\mathrm{\Omega }(m)\sim O(nm)$ 的力量，横竖没有 $\mathrm{\Theta }$ 就算成功！

P1344 [USACO4.4] 追查坏牛奶 Pollutant Control

• 题意略。

• 第一问无疑是个最小割板子，第二问怎么办？

• 某，有一奇技淫巧：把每条边的容量 $+eps$，这里 $eps<{\displaystyle \frac{1}{m}}$。

• 于是求出的最小割的整数部分应该不变，小数部分事实上反映了割了几条，且会尽量少割。最大流那边只是数值相等，不用关心图论意义。

• 唔...事实上，是可行的。而且建议乘一个足够大的数转到整型范围。

P2057 [SHOI2007] 善意的投票 / [JLOI2010] 冠军调查

• 题意略。

• 首先容易看出是最小割。

• 本题的建模比较有趣，我们详细谈谈：

  • $S$ 代表睡觉。从 $S$ 向所有想睡觉的小朋友连边。

  • $T$ 代表不睡觉。从所有不想睡觉的小朋友向 $T$ 连边。

  • 对于每一对朋友....朋友怎么连边？

• 不妨先处理分居左右（认为 $S$ 在左）的朋友对 $(x,y)$。显然应该只需要从左向右连边（从右向左连的边，最大流中就应当是没用的，最小割下也没有实际意义），考察其实际意义：

  • 割 $S\to x$ 的边：$x$ 改主意了，不睡觉。但是要付出他违背自己意愿的代价。

  • 割 $x\to y$ 的边：硬吃这一对朋友选择不同的代价。

  • 割 $y\to T$ 的边：$y$ 改主意了。

• 那问题来了。同一边的朋友怎么办？不用连边？

• 不行，残量网络是一个动态的东西。考虑 $(x,y)$ 都在左边的情况，可能割了某条 $S\to x$ 之后 $x$ 等效在右边，于是此时 $S\to y\to x\to ?\to T$ 构成矛盾。

• 所以这不是二分图，同部点之间有边。必须连双向边。当然，跨部边事实上可以单向（但没必要）。

• 复杂度 $O(n^2(n+m))$。

P2598 [ZJOI2009] 狼和羊的故事

• 题意略。知道这是网络流的话不太难，没猜到是网络流就寄了，我是在题单里做到的那种，所以真被 shock 一下我估计我也做不出来...

• $S\to 1(+\mathrm{\infty }),2\to T(+\mathrm{\infty }),\text{四连通}(1)$。然后求最小割。

• 一个比较有趣的问题是，为什么这样的篱笆一定是连续的。

• 感性理解的话证明不难：有豁口的话一定还有 $S\to T$ 的路径。

• 或者说，这个网络和原图的连通性是等效的。

P2774 方格取数问题

• 题意略。一看就很最小割啊。

• 相邻两个数至少有一个不选...考虑把每个点拆成 in 和 out。

• 对 $i$，和所有四连通的 $j$ 连 $ou{t}_i->i{n}_j(+\mathrm{\infty })$。

• $S->out,in->T(a?)$...好像有问题，考虑 $1\times 2$ 的一个网格，建出来图发现它会割两条边。可能会各割一次或者把某个割两次。

• 黑白染色。黑点和 $S$ 连，白点和 $T$ 连（边权为 $a_i$）；黑连向白（$+\mathrm{\infty }$）。

• 啊于是这样一来拆点也没有必要了。$O((n^2{)}^2(n^2))=O(n^6)$，不过网络流复杂度大家都知道。

P2762 太空飞行计划问题

• 题意略。妙妙题！至少对现在（写到这里时）的我来说！

• 输入数据确实毒，我的想法是 getline 进来在上面跑 mygc。不过这个不重要。

• 首先费用流的话，有点怪，因为不知道流量是干嘛的；最大流也有点怪，负流量是什么鬼；最小割？没道理啊。

• 我有一个想法：跑费用流。流量代表做几个实验，依次把从 $S$ 流出的流量设为 $1\sim m$，挨个试一试，当然实际上是在残量网络上加流量。

• 但是，怎么表示仪器的存在性，或者说实验对其存在性的依赖？...好像没办法。

• 贺讨论区后想到了一种非常妙（可能只是因为我最小割做得少）的建模：用边表示不买某个仪器，而非买某个仪器！

• $S\to eq(cost),eq\to ex(+\mathrm{\infty }),ex\to T(value)$，这里 $eq$ 表示 equipment，$ex$ 表示 experiment，中间的那种边只有有依赖关系的才连。

• 于是得解。构造参看最小割最大流定理的构造证明。

• 另外本题的建模有更一般化的做法并可以引出一系列问题，参看《最小割模型在信息学竞赛中的应用》-胡伯涛。

P4174 [NOI2006] 最大获利

• 题意略。可以看出和上一道题基本同构。

• 首先令 $ans=\sum cost$，相当于建出所有基站；然后从源点向基站连边，流量为不建它能省的钱；从用户群向汇点连边，容量为其对应的获益；基站到用户群之间的边保留，容量为正无穷。

• 复杂度 $O((n+m{)}^2(n+3m))=O(m^3)$，唉算了你管它干啥。

P3355 骑士共存问题

• 题意略。二分图最大独立集板子，和方格取数没啥区别。略。

某 T1 割

• 高贵的版权

P5934 [清华集训2012] 最小生成树

• 题意：给出一张无向连通图，求至少删多少条边后给定的一条边既可以在最小生成树中，又可以在最大生成树中。

• 数据范围：$n⩽2\times {10}^4,m⩽2\times {10}^5$。

• 首先，基于 Kruskal 算法，边权为 $K$ 的边在最小/大生成树中，就代表着仅保留 $<K/>K$ 的边时原图不连通。

• 故分别建图跑最小割，源汇点分别为给定边的源汇点（因为给定边必须对连通有贡献），将两个最小割求和即可。之所以是求和是因为两张图的边集无交。

• 时间复杂度...就，理论 $O(n^{2}m)$ 呗。我也不知道这么大的数据范围怎么敢出的。upd：由 OI Wiki，在单位网络上增广轮数为 $min(V^{\frac{2}{3}},E^{\frac{1}{2}}$，于是纸面复杂度 $1.47\times {10}^8$，能过是有道理的。

P5039 [SHOI2010] 最小生成树

• 题意：给出一张无向连通图，可以花费 $1$ 的代价将某条边的边权 $+1$，求使给定边一定在最小生成树中的最小代价。

• 数据范围：$n⩽5\times {10}^2,m⩽8\times {10}^2$。

• 沿用上一题的结论。发现边权差不太好处理，思考发现割它的代价即为它的容量，于是令容量为边权差即可。解决，复杂度 $O(n^{2}m)$。