最小割
概述
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最小割在实质上是一种很...精妙的模型，与状压中的依赖式问题一样，都在一定程度上反映着决策之间的矛盾。
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每一条从 \(S\) 到 \(T\) 的路径，其上的边都满足某种矛盾关系，必有一条边删掉。
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根据对应边是实际边（即希望参与删除的）还是结构边（即为构成路径而添加的虚边或不许删的边，不希望参与删除），可以控制容量来调整删谁。
最大流最小割定理
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对任意网络，其最大流流量等于其最小割容量。
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证明：
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首先，容易证明 \(\min c(S,T)\geqslant \max f(S,T)\)。
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不妨假设 \(\exists c(S,T)<\max f(S,T)\)，于是将 \(c\) 中所有边（注意网络上其实只有正边，反边是我们为了退流构造的虚边）都从网络上删去。
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显然这最多使 \(f(S,T)\) 减少 \(c(S,T)\)，于是 \(f'>0\)，故 \(S,T\) 仍然连通（有增广路），与前设不符。
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下面给出构造证明总有 \(\min c(S,T)=\max f(S,T)\)。
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在一个已经跑完最大流的残量网络上，我们从 \(S\) 出发进行 bfs（相当于做一遍 EK 来推流，这里只使用有容量的边），标记所有能到达的点。
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对于所有满流边（这里不存在反边这种东西！但 bfs 的时候是会用有容量的反边的），如果其起点被标记而终点未被标记，则该边在我们的最小割中，否则不在。
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注意，这不等价于取每条有流量的路径上的最左满流边边为割边（认为 \(S\) 在左边）！可能会绕后。
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合法性：
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容量为 \(0\) 的边集一定是合法割的超集。
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使用反证法。假设它们不足以构成一个割，则还存在其他路径。
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既然满流边都容量为 \(0\) 也即相当于 ban 掉了，则对应路径上每条边都不满流，于是该路径为增广路，不符合已求出最大流的前设。
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然后，所有取到的边其实足以堵住所有流。
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若某条满流边的 \(s\) 就没有被标记，说明更靠前（这个更靠前指的是，唔，大概是分层图意义上的）的满流边已经把它的来源堵住了，换言之它堵在这里是架不到人的。
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于是取出的边集足够作为一个割。
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最优性：
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考虑递归这个问题，每次随意选一条我们认为在最小割中的边，将它在图上删去，最大流流量一定减小 \(f(s,t)\)，且其他我们选中的边的 \(f(s,t)\) 不变。
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前者显然，后者不妨反证法：
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首先注意到每条有流量路径上有且仅有一条边在最小割内，如果无则有流量，如果 \(>1\) 则删去更小。
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对于一条有流量路径，其一定是前缀被标记。不妨假设其不是前缀被标记，由其有流量可知每条边的反边都有容量，于是较后的标记点会把较前的未标记点标记，矛盾，故一定是前缀被标记。
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如果某条边的 \(f(s,t)\) 变化，则说明其一定和删去边共有流量路径；而上面的只标记前缀告诉我们，这条路径上的标记-无标记边一定只有一条，换言之只会有一条在我们认为的最小割中，矛盾，故 \(f(s,t)\) 一定不变。
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那么这样删下来，得到的恰为选中边的 \(\sum f\)，又它们都是满流边且 \(f\) 不变，故 \(\sum f=\sum c\)，又由割的定义，我们这样一条一条删一定有 \(\sum f=f(S,T)\)（\(f\) 是那条边被删去时它的流量），于是 \(\sum c=f(S,T)\)，原命题得证。
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另外，由于 Dinic 中我们会 bfs 判增广路存在性，不存在则返回最大流量，所以其实这个 bfs 做过了，直接用 Dinic 的 bfs 的结果就好。
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注意：“最小割在数值上与最大流相等，但在本身性质上与最大流无任何关系。”不要落入最大流的窠臼！
例题
P1345 [USACO5.4] 奶牛的电信 Telecowmunication}
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题意：
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给定一张 \(n\) 点 \(m\) 边的无向图。
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定义“删去一个点”为将一个点及与其相连的所有边删去。
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问令 \(s,t\) 不连通至少要删去多少个点。
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数据范围：\(n\leqslant 100,m\leqslant 600\)。
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这是一道非常棒的最小割入门题。
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我们看到，正常的网络是要删边，这里却是要删点。局面顿时复杂不少。
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我会拆点！把无向边拆成有向边，把每个点拆成 \(in_v,out_v\)，\(in_v\) 接受所有入边，然后连一条出边到 \(out_v\)，\(out_v\) 发出所有出边。
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不错。可是我们要怎么做才能确保一定不会删到 \(in_v\to out_v\) 以外的其他正常边？
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这就到流量发威的时候了。令原有边的容量为 \(inf\)，虚边的容量为 \(1\)。问题解决。
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最后边数大概在 \(2m+n\)，总复杂度还是 \(O(n^2m)\)。
P1361 小M的作物
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题意：
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有 \(n\) 种作物，第 \(i\) 种种在田地 \(A\) 中收益 \(a_i\)，种在 \(B\) 中收益 \(b_i\)。
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另有 \(m\) 种组合，如果第 \(i\) 个组合中的作物共同种在 \(A\) 或 \(B\)，则有 \(c_{a,i}\) 或 \(c_{b,i}\) 的额外收益。
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求最大总收益。
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数据范围：\(n\leqslant 10^3,m\leqslant 10^3\)。
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首先很容易想到把每个作物开一个点，把 \(A\) 作为 \(S\)，\(B\) 作为 \(T\)，自 \(A\) 向每个作物连容量为 \(a_i\) 的边，自每个作物向 \(B\) 连容量为 \(b_i\) 的边。
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可是，组合怎么办？考虑先对每个组合建一个点，然后和上面一样地连边，毕竟互相矛盾。
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接下来，\(A\) 一侧的组合和所有组合中作物连向 \(B\) 的边矛盾...所以从组合点向所有作物连容量为 \(inf\) 的边。
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于是构成了 \(A\to \text{组合}\to \text{很多作物}\to B\) 的路径，要么放弃 \(A\to \text{组合}\) 的容量，要么放弃 \(\text{很多作物}\to B\) 容量。
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可是难道...也从所有作物向组合连边？不对。得把组合开两个虚点，分别处理。
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解释一下原因，毕竟我在这里挂了一次：
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这样做就会出现 \(inf\) 权环，考虑 \(S\to 1,2,\to T\)，\(1,2 \to 4,4\to 1,2\) 的情况，其中 \(4\) 为组合的虚点。
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于是此时存在一条路径 \(S\to 1\to 4\to 2\to T\)，\(S\to 1\) 和 \(2\to T\) 矛盾了，和我们的需求不符。
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这里因为网络流要建反边所以会有重边，但是网络流重边不敏感。
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于是 \(\sum v-\sum\limits_{e\in E'}c(e)\) 即为答案。
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谈一下复杂度：建完图之后点数上界 \(3\times 10^3+2\)，边数上界 \(2\times 10^6+4\times 10^3\)，乍一看网络流复杂度是一定炸掉的。
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但是这里图只有两层，Dinic 几乎没有外层复杂度。虽然内层的 \(O(nm)\) 也趋于 \(4\times 10^9\)，看起来毫无希望，但事实上边数那么多的话图就极其稠密，已经趋于 \(n^2\) 了。
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那么显然我们可以期望 Dinic 发挥出它强大的 \(\Omega(m)\sim O(nm)\) 的力量，横竖没有 \(\Theta\) 就算成功！
P1344 [USACO4.4] 追查坏牛奶 Pollutant Control
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题意略。
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第一问无疑是个最小割板子，第二问怎么办？
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某，有一奇技淫巧：把每条边的容量 \(+eps\)，这里 \(eps<\dfrac{1}{m}\)。
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于是求出的最小割的整数部分应该不变，小数部分事实上反映了割了几条，且会尽量少割。最大流那边只是数值相等，不用关心图论意义。
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唔...事实上，是可行的。而且建议乘一个足够大的数转到整型范围。
P2057 [SHOI2007] 善意的投票 / [JLOI2010] 冠军调查
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题意略。
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首先容易看出是最小割。
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本题的建模比较有趣，我们详细谈谈：
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\(S\) 代表睡觉。从 \(S\) 向所有想睡觉的小朋友连边。
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\(T\) 代表不睡觉。从所有不想睡觉的小朋友向 \(T\) 连边。
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对于每一对朋友....朋友怎么连边？
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不妨先处理分居左右（认为 \(S\) 在左）的朋友对 \((x,y)\)。显然应该只需要从左向右连边（从右向左连的边，最大流中就应当是没用的，最小割下也没有实际意义），考察其实际意义：
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割 \(S\to x\) 的边：\(x\) 改主意了，不睡觉。但是要付出他违背自己意愿的代价。
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割 \(x\to y\) 的边：硬吃这一对朋友选择不同的代价。
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割 \(y\to T\) 的边：\(y\) 改主意了。
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那问题来了。同一边的朋友怎么办？不用连边？
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不行，残量网络是一个动态的东西。考虑 \((x,y)\) 都在左边的情况，可能割了某条 \(S\to x\) 之后 \(x\) 等效在右边，于是此时 \(S\to y\to x\to ?\to T\) 构成矛盾。
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所以这不是二分图，同部点之间有边。必须连双向边。当然，跨部边事实上可以单向（但没必要）。
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复杂度 \(O(n^2(n+m))\)。
P2598 [ZJOI2009] 狼和羊的故事
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题意略。知道这是网络流的话不太难，没猜到是网络流就寄了，我是在题单里做到的那种，所以真被 shock 一下我估计我也做不出来...
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\(S\to 1(+\infty),2\to T(+\infty),\text{四连通}(1)\)。然后求最小割。
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一个比较有趣的问题是，为什么这样的篱笆一定是连续的。
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感性理解的话证明不难：有豁口的话一定还有 \(S\to T\) 的路径。
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或者说，这个网络和原图的连通性是等效的。
P2774 方格取数问题
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题意略。一看就很最小割啊。
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相邻两个数至少有一个不选...考虑把每个点拆成 in 和 out。
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对 \(i\)，和所有四连通的 \(j\) 连 \(out_i->in_j(+\infty)\)。
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\(S->out,in->T(a?)\)...好像有问题，考虑 \(1\times 2\) 的一个网格，建出来图发现它会割两条边。可能会各割一次或者把某个割两次。
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黑白染色。黑点和 \(S\) 连，白点和 \(T\) 连（边权为 \(a_i\)）；黑连向白（\(+\infty\)）。
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啊于是这样一来拆点也没有必要了。\(O((n^2)^2(n^2))=O(n^6)\)，不过网络流复杂度大家都知道。
P2762 太空飞行计划问题
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题意略。妙妙题！至少对现在（写到这里时）的我来说！
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输入数据确实毒，我的想法是
getline进来在上面跑mygc。不过这个不重要。 -
首先费用流的话，有点怪，因为不知道流量是干嘛的；最大流也有点怪，负流量是什么鬼；最小割？没道理啊。
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我有一个想法：跑费用流。流量代表做几个实验，依次把从 \(S\) 流出的流量设为 \(1\sim m\)，挨个试一试，当然实际上是在残量网络上加流量。
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但是，怎么表示仪器的存在性，或者说实验对其存在性的依赖？...好像没办法。
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贺讨论区后想到了一种非常妙（可能只是因为我最小割做得少）的建模：用边表示不买某个仪器，而非买某个仪器！ -
\(S\to eq(cost),eq\to ex(+\infty),ex\to T(value)\)，这里 \(eq\) 表示 equipment，\(ex\) 表示 experiment，中间的那种边只有有依赖关系的才连。
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于是得解。构造参看最小割最大流定理的构造证明。
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另外本题的建模有更一般化的做法并可以引出一系列问题，参看《最小割模型在信息学竞赛中的应用》-胡伯涛。
P4174 [NOI2006] 最大获利
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题意略。可以看出和上一道题基本同构。
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首先令 \(ans=\sum cost\)，相当于建出所有基站；然后从源点向基站连边，流量为不建它能省的钱；从用户群向汇点连边，容量为其对应的获益；基站到用户群之间的边保留，容量为正无穷。
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复杂度 \(O((n+m)^2(n+3m))=O(m^3)\)，唉算了你管它干啥。
P3355 骑士共存问题
- 题意略。二分图最大独立集板子，和方格取数没啥区别。略。
某 T1 割
P5934 [清华集训2012] 最小生成树
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题意：给出一张无向连通图，求至少删多少条边后给定的一条边既可以在最小生成树中，又可以在最大生成树中。
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数据范围：\(n\leqslant 2\times 10^4,m\leqslant 2\times 10^5\)。
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首先，基于 Kruskal 算法，边权为 \(K\) 的边在最小/大生成树中，就代表着仅保留 \(<K/>K\) 的边时原图不连通。
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故分别建图跑最小割，源汇点分别为给定边的源汇点（因为给定边必须对连通有贡献），将两个最小割求和即可。之所以是求和是因为两张图的边集无交。
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时间复杂度...就，理论 \(O(n^2m)\) 呗。我也不知道这么大的数据范围怎么敢出的。upd：由 OI Wiki，在单位网络上增广轮数为 \(\min(V^\frac{2}{3},E^\frac{1}{2}\)，于是纸面复杂度 \(1.47\times 10^8\)，能过是有道理的。
P5039 [SHOI2010] 最小生成树
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题意：给出一张无向连通图，可以花费 \(1\) 的代价将某条边的边权 \(+1\)，求使给定边一定在最小生成树中的最小代价。
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数据范围：\(n\leqslant 5\times 10^2,m\leqslant 8\times 10^2\)。
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沿用上一题的结论。发现边权差不太好处理，思考发现割它的代价即为它的容量，于是令容量为边权差即可。解决，复杂度 \(O(n^2m)\)。
