最短路
概述
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最短路算法主要研究图上两点之间的最短路径问题。
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事实上，许多问题都能转化为图来求解（图的本质就是点和边的集合，点是元素，边是元素之间的二元关系）。
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所以最短路算法并不局限于“给出一张图，...”。
Floyd
il void floyd(){
for(int k=1;k<=n;++k)
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=n;++j)
dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
}
概述
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Floyd 算法是一种全源最短路算法。
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Floyd 算法可处理负权，无法处理负环。
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前一条的证明见 Bellman-Ford。
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后一条的理由如下:
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路径可以过负环的两点之间的最短路为无穷小，正常的任何算法都显然算不出（根本存不了这种东西好吧）。
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实际效果的话，对于从 \(i\) 出发不能经过负环到 \(j\) 的 \(i,j\)，和无负环情况一样;
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对于能经过负环的，虽然负环大小有限，其上每个点至多作为一次“当前考虑到的最大可行中继点”被放进来，但其他非负环上点做中继的时候，它的 \(dis[i][k]+dis[k][j]\) 中可能就有 \(1/2\) 项本身过负环，所以最终的 \(dis\) 会为 \(-inf\)。
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Floyd 算法的实现基于邻接矩阵。
原理
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本质上是 dp，上面的代码实质上压掉了第一维。
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完整的 dp 如下:
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状态设计：\(dis_{k,i,j}\) 代表只考虑用编号小于等于 \(k\) 的点作为中继（注意，与路径端点无关！）的情况下，从 \(i\) 到 \(j\) 的最短路距离。
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初始化：\(dis_{0,i,j}=e_{i\to j}\)。如果不存在对应边，那么 \(dis_{0,i,j}=+\infty\)，当然赋成 \(-1\) 然后特判也行。
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状态转移方程：\(dis_{k,i,j}=\min(dis_{k-1,i,j},dis_{k-1,i,k}+dis_{k-1,k,j})\)。
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第二项符号是 + 还是 min 或者别的什么，取决于题目对路径长度的定义。
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证明
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前面一种是不经过第 \(k\) 个点中继，那么显然可以保留结果。
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后一种是经过第 \(k\) 个点中继。显而易见，在无负权环的图中任意一条从 \(k\) 出发/到 \(k\) 截止的最短路不可能以 \(k\) 为中继，所以使用上一次的状态来转移是合法的。
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\(O(n^3)\)，空间 \(O(n^2)\)。
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压维而非滚维的正确性：本轮转移中肯定用到的都是 \(dis_{i,k},dis_{k,j}\) 之类含 \(k\) 的，但由上，从 \(k\) 出发/到 \(k\) 截止的最短路不经过 \(k\)，故每轮转移的出发点在该轮一定不被更新。
其他应用
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Floyd 还有一个妙用：求长度最小的简单环（关于简单环，请参考图论-定义）。
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考虑简单环的环长。把环内最大点记为 \(k+1\)，且 \(\exists e_{i\to k+1},e_{k+1\to j},i,j\in cir\)，显然该环的最小长度为 \(dis_{k,i,j}+e_{i\to k+1}+e_{k+1\to j}\)。
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则我们可以对于每个 \(k\)，在进行 Floyd 前
for(i,j)基于上式求最小环。可以得到最小简单环环长。 -
又因为找到的环一定包含 \(i,j,k+1\) 三个点，记录每个 \(dis\) 由谁更新后利用回溯也可以找到环上点与边。
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为什么后两个用的是 \(e\) 而非 \(dis\)？
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负权图中，\(dis\) 可能会绕远路绕到 \(i,j\) 之间的点上再绕回来（这样走经过的路径长度为负数），于是这个环就不是一个简单环，甚至于它会反复计算负权边的权值。
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而环长度的定义是 \(\sum\limits_{e\in cir} e\)，即环上每条边的权值之和。
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Dijkstra
const int inf=0x3f3f3f3f;
int dis[maxn];
bitset<maxn> vis;
struct point{
int id,dis;
point(){}
point(int _id,int _dis){id=_id,dis=_dis;}
il bool operator<(const point &b)const{return dis>b.dis;}
};
priority_queue<point,vector<point> >q;
il void dijk(int s){
For(i,1,n) dis[i]=inf; dis[s]=0; q.push(point(s,0));
ri point now;
while(!q.empty()){
now=q.top(),q.pop();
if(vis[now.id]) continue;
vis[now.id]=1;
for(ri edge a:e[now.id])
if(dis[a.to]>now.dis+a.l){
dis[a.to]=now.dis+a.l;
q.push(point(a.to,dis[a.to]));
}
}
return;
}
概述
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Dijkstra 算法是一种单源最短路算法。
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Dijkstra 无法处理负权边。
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一切单源最短路，一切，取出最短路中用到的边，这些边一定是一棵树，称为最短路树。
原理
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我们下面把“最短路长度尚未确定的点”称为未出队点，确定的称为已出队点（请注意，未出队不代表就在那个
priority_queue内）。 -
1.每次在最短路长度尚未确定的点中，选取到源点 \(s\) 最近的 \(u\)。
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在无负权图中，可以证明，此时的 \(dis_u\) 一定就是实际的 \(s\to u\) 的最短路长度：
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\(\forall dis_v<dis_u\) 的 \(v\)，它们都已经出队，且已尝试过更新 \(dis_u\)。
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\(\forall dis_v\geqslant dis_u\) 的 \(v\)，既然是无负权图，则一定有 \(dis_v+e_{v\to u}\geqslant dis_u\)，没有更新的必要。
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故此时的 \(dis_u\) 一定就是实际的最短路长度。
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2.从 \(u\) 出发，尝试更新所有未出队点的最短路，即 \(\forall v,dis_v=\min(dis_v,dis_u+e_{u\to v})\)。
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通常使用邻接表实现，故没有边就不更新。
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注意，我们虽然把 \(s\) 之外的点的 \(dis\) 都初始化为 \(inf\) ，但它不能真的取一个接近类型上限的值（譬如说 \(2139062143\) 或 \(2^{31}-1\) 对于
int)，因为这样一加会炸类型上限。
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3.将 \(u\) 出队。如果队列不空，则继续找最近的点，重复上述操作。
实现
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朴素实现
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就枚举呗，跟 Prim 真的非常像（上面贴的代码是优化版的）。
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每次找点 \(O(n)\)，找 \(n\) 次，每条边会做一次更改 \(dis\) 的尝试。
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故总复杂度 \(O(n^2+m)\)。
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优化实现
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使用各种能 \(O(\log)\) 取出最近点的数据结构。
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最常用的是
priority_queue，因为好写。-
需要注意的是我们无法更改优先队列中的元素的值（可能会有人说
mutable关键字但我不会）。 -
故我们不得不把 \(dis\) 放在结构体里才能让优先队列正常运行，从而我们只能每次把 \(id\) 和 \(dis\) 打包丢进优先队列。
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从而会有大量无用元素积压，所以它的表现很差，极限情况下每条边都会导致一次入队（和后面的出队），\(O((n+m)\log m)\)。
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需要额外考虑一个问题：一个点是否可能会入队多次。
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在它的 \(dis\) 已经彻底敲定,用它来更新别人之后,它肯定不会入队。
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但在那之前它可能会被更新很多次，\(dis\) 最小的那次会首先被取出，后面的都没用。
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所以我们应当加一个 \(vis\) 数组,一旦它被取出了一次,就
vis=1,后面再被取出直接continue。
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显然可以用各种堆（二叉堆/配对堆/左偏树）加上记录元素在堆中的编号来做 decrease-key，从而复杂度降至 \(O((n+m)\log n)\)。类似地，线段树也可以。
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有一个很神的东西叫做 Fibo 堆：
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这个东西只有 pop 是 \(O(\log)\)，其他操作都是 \(O(1)\)。
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故用它优化 Dijk 的理论复杂度为 \(O(m+n\log n)\)。
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但事实上，它太难写。并且，它的复杂度是均摊的，在实际使用中表现并没有那么优秀（甚至会输给配对堆，见 OI Wiki Dijk 处的链接），故不常用。
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注意到除了 Fibo 堆之外，其他的在稠密图中都是负优化。所以请根据 \(m\) 与 \(n\) 的相对大小谨慎选择。
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Bellman-Ford 与 SPFA
int dis[maxn],q[maxn<<4],hd=1,tl;
bool vis[maxn];
void spfa(int s){
For(i,1,n) dis[i]=inf; dis[s]=0; q[++tl]=s; vis[s]=1;
while(tl>=hd){
vis[q[hd]]=0; int now=q[hd++];
for(bian a:e[now])
if(dis[a.to]>dis[now]+a.l){
dis[a.to]=dis[now]+a.l;
if(!vis[a.to]) vis[a.to]=1,q[++tl]=a.to;
}
}
return;
}
概述
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Bellman-Ford 算法是一种单源最短路算法。
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Bellman-Ford 算法可处理负权边，无法处理负环。
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狭义的 SPFA 是队列优化的 Bellman-Ford。
原理
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Bellman-Ford：dp。
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状态设计：\(dis_{k,i}\) 为从 \(s\) 到 \(i\) 只走不超过 \(k\) 步的最短路。
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初始化：\(dp_{0,s}=0\)。
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状态转移方程：\(dis_{k,i}=\min(dis_{k-1,i},\min_j(dis_{k-1,j}+e_{j,i}))\)。
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\(O(n^2)\)。
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观察上面的转移式,可以看到 \(k\) 的转移实质上是可以滚维/压维的。
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如果我们压它的维,转移中会有环。怎么办？
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考虑使用带环 dp 的方式来处理它。
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SPFA
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每次某个点的最短路被修改了就把它扔进队列，准备从它出发更新别的点的最短路。
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用 \(vis\) 记录一下是否已经在队列里，不要重复入队。
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\(\Omega(m)\sim O(nm)\)。一般认为随机数据下是 \(O(m)\) 的，构造数据下是 \(O(nm)\) 的。
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有一系列优化，譬如 \(dis\) 小于队头就放到队头，\(dis\) 大于平均扔到队尾（有点模拟优先队列的味道），在随机数据下很有效。
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然而，训练有素的出题人还是可以把你卡到 \(O(nm)\)。事实上，这些优化可以被卡到指数复杂度。
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所以如果被卡了就去用 Dijk 吧...大型比赛一定、一定、一定不要用 SPFA！！！（除非打暴力明知 Dijk 过不了，赌一手 SPFA 能过）
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其他应用：找负环
- 路径可以过负环的两个点肯定没有最短路，但是 SPFA 可以判断（并找到）负环。
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任意一个点最多被每个点都更新一次，毕竟这个 dp 的本质是走谁作中转。
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所以如果一个点的入队次数 \(\geqslant n\)，一定有负环!
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记录更新来源，可以不断倒序回溯，找到负环。
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\(O(nm)\)（毕竟都入队n次了）。
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可以用 \(num\) 数组来优化。假如 \(i\) 更新了 \(j\)，\(num[j]=num[i]+1\)，\(O()\) ...这个优化的正确性毋庸置疑，但也有可能被卡成无优化。
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可以看到这个 \(num\) 实际代表的是最短路经过的点的个数，它 \(>n\) 则一定有负环了（一条最短路不可能含超过 \(>n\) 个点，即不能有超过 \(n-2\) 个中转点，除非有一个点过了两次）。\(num[s]=1\)。
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需要额外附注一下的是，常规的 SPFA 会自动地清空 \(vis\)，但找到负环就跳出时，记得手动清理。
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差分约束算法
概述
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差分约束算法的一般形式如下：
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给定一组多元不等式（也可能含一些等式），试求解:
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某两个元的最大差/最小差。
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一组符合条件的解。
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最小差问题
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将 \(x_1,x_2,...\) 抽象为一组图论意义下的点，将不等式抽象为它们之间的边。
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考虑一个最短路问题的基本形式：\(dis_i\leqslant dis_j+e_{j\to i}\)。
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如果我们把所有的不等式都化成类似的小于情况（\(x_i-x_j\leqslant k\)），那么就可以把它化归到上面的最短路模型里：\(e_{j\to i}=k\)。
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实际意义：\(x_i\) 最多比 \(x_j\) 大 \(k\)。从而求最小差的意义就是多条“\(x_i\) 比 \(x_j\) 最多大多少”路径的最短路。
最大差问题
- 同上。全部转化为大于情况，那就是多个“最少大多少”中的最长路。
求符合条件的解（或者判断是否有解）。
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做一个超级源点，剩下自己整。
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有负环就是无解。
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证明：将对应不等式左右相加（按 \(x_i-x_j\leqslant k\) 的形式），显然得到 \(0\leqslant -k,k> 0\)。
例题
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\(\text{P5960 [模板] 差分约束算法}\)
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\(\text{P2294 [HNOI2005] 狡猾的商人}\)
