李超线段树

概述

• 李超线段树是真正用于维护“线段”的线段树。

• 具体来说，李超线段树主要用于维护平面上线段（表现为给出定义域的一次函数）信息，通常为某处的最大/小值等。

实现原理

• 不妨以加线段，查询 $l:x=k$ 与所有线段的交点的最大纵坐标为例。

• 众所周知，区间加等差数列，区间求和是容易的。然而区间取 $max$ 却难以平凡维护。

• 注意到一次函数有一个非常美妙的性质：（非严格）单调。不妨先将修改区间下放到到达点上，若对应区间仅由一条线段支配，则两者的交点能给我们提供很多有意义的信息。

  • 交点在区间外：说明有一者严格优。删去另一者。

  • 交点在区间内：此时区间内的答案是一个分段函数。显然线段树并不能很好地处理分段函数——引入标记永久化。

• 显然，交点在哪一侧，另一侧就被一个线段完全支配。从而我们可以单侧递归！线段的函数成了永久化的标记，放在任意的节点上，结合标记永久化的查询方式即可。

复杂度分析

• 显然为插入 $O({\log }^2)$，询问 $O(\log )$。

例题

P4097 [HEOI2013] Segment

• 题意：插入线段，求与 $l:x=k$ 交点最大的线段编号。

• 卡精度毒瘤题！虽然没卡到我，但逻辑上讲宽广的斜率范围 $[{10}^{-9},{10}^9]$ 应该是随便卡精度。

• 毕竟是板子，不多说了。$O(n{\log }^2)$。

P4254 [JSOI2008] Blue Mary 开公司

• 题意：插入线段，求与 $l:x=k$ 的最大交点，保留到百位（百位以下舍去）。

• 这就是不卡精度的鉴题目！也是板子，不说了，$O(n{\log }^2)$。

23.2.14 T4 鲍勃打比赛

• 题意：给出序列 $a_{1\sim n}$，记 $S$ 为其所有不降子序列的集合，求 $\underset{s\in S}{max}f(s)$，$f(s)$ 不太好数学语言化，用自然语言来说是各项权值和+每个未选段的价值，一个长为 $k$ 的未选段的第 $j$ 项的价值为 $-j$。

• 数据范围：$n⩽{10}^5,a\in [-{10}^9,{10}^9]$。

• 本题也见 CDQ 分治。

• 有什么好说的？设计 dp 如下：

  • 状态设计：$f_i$ 表示以 $i$ 结尾的 LIS 的最大权。

  • 初始化：$f_0=0$。

  • 状态转移：

  $$\begin{array}{rl}{f}_i& =\underset{j<i\wedge a_j⩽a_i}{max}(f_j-\frac{(i-j)(i-j-1)}{2}+a_i)\\ & =\underset{j<i\wedge a_j⩽a_i}{max}(f_j-\frac{i^2+j^2-2ij-i+j}{2})+a_i\\ & =\underset{j<i\wedge a_j⩽a_i}{max}(ji+f_j-\frac{j^2+j}{2})-\frac{i^2-i}{2}+a_i\end{array}$$

• 这一状态转移是非常明显的斜率式。按 $a_i$ 升序为第一关键字，$i$ 升序为第二关键字排序，按这个序转移，将对应的直线插到 $i+1\sim n$ 上，查询的时候单点查最值即可。记得每个 $i$（包括 $i=0$）都应向终点转移。复杂度就是李超树的 $O(n{\log }^2)$，当然每种后缀加各一种我猜有可能可以分析。