线段树优化

概述

• 线段树优化通过线段树能快速区间取值和区间修改的特性，高效实现具有连续性的 dp 转移。

• 所谓的连续性可以是顺推的转移目标点为连续区间，也可以是逆推的转移出发点为连续区间，这一连续不一定必须是原数组下标这一维度上的。

• 效果一般为将 KD1D 的 dp 的 $O(n)$ 的转移优化至 $O(\log )$，转移大于 1D 的 dp 中线段树优化较为罕见。

• 应当指出的是，有些时候要刻意使用同构 dp 来方便进行线段树优化，譬如一个典型的手法是将“考虑了前 $i$ 个，最后一个选的是 $j$”改成“考虑了前 $i$ 个，最后一个选的是 $i$”，将状态的复杂度转嫁到转移上，然后使用线段树优化。

例题

CF1788E Sum Over Zero

• 题意略。赛时我可能智商欠费。

• 容易看出一个线段 $[l,r]$ 合法当且仅当 $p{s}_r-p{s}_{l-1}⩾0$。可以转换成 $p{s}_r⩾p{s}_{l-1}$，这里 $ps$ 是 perfix sum 的缩写。

• 故考虑设计如下 dp：

  • 状态设计：$f_i$ 表示考虑了前 $i$ 个点，当前最大合法总长度是多少。

  • 初始化：$f_0=0$。

  • 状态转移方程：$f_i=max(f_{i-1},\underset{j=0}{\overset{i-1}{max}}(\underset{k=1}{\overset{j}{max}}{f}_k+(i-j)))$，其中后一个转移需要满足 $p{s}_i⩾p{s}_j$。

  • 不妨记 $g_i=\underset{j=1}{\overset{i}{max}}{f}_i$，显然可以预处理，稍微化一下式子（只考虑后一种转移），得到 $\underset{j=0}{\overset{i-1}{max}}(g_j-j)+i$。事实上因为前一种转移，$g$ 本身就具有 $g$ 的性质，不过这里我们假装它没有。

  • 注意到我们的转移顺序天然地保证了 $j<i$，故我们可以开一棵值域线段树，树上第 $i$ 个叶节点表示 $\underset{p{s}_j=i}{max}(g_j-j)$。在得到 $g_x$ 后将 $g_x-x$ 扔到树上的第 $p{s}_x$ 个叶节点上，转移的时候只要做前缀询问就好了。

  • 那其实应该也可以是树状数组，单点修改，前缀最大值...哦值域太大了啊。那么考虑将这一转移对偶，即我们就开关于下标的树，此时转移顺序变成按 $ps$ 从小到大了。哦错了，这会使得前一种转移不可行，于是炸了。

• 复杂度 $O(n\log )$。

9.25 T3 蜜蜂搬家

• 历史遗留