分块

（强制在线）单点修，区间第 \(k\) 小

• 首先有一个简单的序列分块+值域二分做法：

  • 序列分块，对每个块建值域树状数组。

  • 修改时暴力修改，\(O(\log)\)。

  • 询问时将两侧散块合并建一个虚块，然后在值域上二分，在每块内查询，\(O(B\log+num\log^2)\)。

  • 显然这是可平衡的，令 \(B=num\log\)，解得 \(B=\sqrt{n\log}\)，\(num=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{log}}\)，代入得复杂度为 \(O((n\log)^\frac{3}{2})\)，但意义不大。

  • 考虑优化。使用多树二分，可以去一只 \(\log\)，也使得复杂度自平衡，时间复杂度为 \(O(n\sqrt{n}\log)\)。

• 如果修改的值不强制在线，有一个美妙的序列分块套值域分块做法：

  • 序列分块。然后值域分块，开桶（开不下就开哈希表）\(t_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个序列块中有多少个 \(j\)，并维护 \(s_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个序列块中，第 \(j\) 个值域块中有多少个数。

  • 修改时暴力修改。暴力枚举后方序列块的 \(s,t\)，复杂度为 \(O(num)\)。

  • 询问时，将两侧散块合并建一个虚块，将中间的整块也合并进去，我们只关心这个虚块中第 \(j\) 个值域块有多少个数，所以可以利用 \(s\) 的差分性快速处理整块。然后从小到大暴力枚举答案在哪个值域块内，直到找到为止。接下来在这个值域块内暴力枚举答案即可。\(O(B_s+num_r+B_r)\)，\(s\) 指 sequence 序列，\(r\) 指 range 值域。因此需要修改的值可以离线，否则表现还不如上面那个。显然其复杂度已经平衡了。

区间修，区间查 \(>k\) 的个数

• 本题有一个可以交的改版 UOJ #435。

• 序列分块，发挥懒标记作用。

  • 修改时，对散块暴力修改之后维护一个有序副本，\(O(B\log)\)；对整块直接打 tag，\(O(num)\)。

  • 询问时，对散块暴力枚举，\(O(B)\)；在整块上二分，注意这里 \(k\) 要减去对应的 tag（原本是 \(>k\)，现在是 \(>k-tag\)），\(O(num\log)\)。

  • 故总复杂度为 \(O(n\sqrt{n}\log)\)，其已经平衡。

  • 如果值域较小，譬如修改为 \(\pm 1\)，则可以将二分改成值域分块。具体地，维护 \(s_{i,j}\) 表示第 \(i\) 个块中前 \(j\) 个值域块有多少个数和 \(t_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个块中恰为 \(j\) 的有多少个数，...好像不行啊。tag 不统一。单点修大概就可以。但是 这篇博客 说可以，我不会啊...如果有人看到而且会的话，求教。