定期重构

概述

• 有时，我们维护的数据结构是静态的，但题目却要求加/删。

• 如果题目满足元素互相独立，则考虑定期重构吧！

  • 加入：将加入但还未整合到数据结构中的元素放入一个栈中，询问时暴力扫这个栈，到达阈值后将栈整合入数据结构，重新 build 一遍即可。

  • 删除：考虑反演，我指的是算贡献（这要求贡献满足可减性，不过都独立了，应该都是可减的），将被删除的单独开一个数据结构，对正和负贡献的两个数据结构分别做定期重构即可。

• 考虑到复杂度平衡，一般较常见的“定期”是根号次操作。可以基于启发式合并来做启发式重构。替罪羊树有着特殊的重构周期，其依赖平衡因子 $\alpha$，这主要和其作为树的递归性有关。

根号重构

启发式重构

• 启发式重构是一种颇特殊的定期重构方式。其尝试将合并过程规约到启发式合并的时间复杂度下——也即每个元素只会参与 $O(\log )$ 次合并，从而获得比根号重构更好的时间复杂度。

• 显然这是不容易的。考虑一个不允许插入的数据结构，不妨取其的构建复杂度为 $O(siz)$，$siz$ 为元素个数。当我们把小的数据结构合并到大的中时，小的一方的复杂度是正确的，但既然没法插入则复杂度为 $O(si{z}_A+si{z}_B)$，大的一方的复杂度会炸。

• 解决办法：让两者的 $siz$ 一样大就好了——回到“每次合并 $siz$ 翻倍”的证明中去！

  • 按二进制维护若干个数据结构，第 $i$ 个的 $siz$ 为 $2^i$。显然至多有 $O(\log )$ 个数据结构。

  • 每次新加的元素单独开一个数据结构，然后模仿二进制进位过程，不断合并 $siz$ 相同的数据结构。

  • 显然其符合启发式合并的复杂度分析。于是，我们有了 $O(m\log m+Q\log m)$ 的优秀复杂度，$m$ 为插入的元素个数，$Q$ 为询问次数。

  • 注意，其优越性依赖 $m,Q$ 的平衡，若 $Q=m\sqrt{m}$，则 $O(m\sqrt{m}+Q)$ 的根号重构反而复杂度更优。

CF710F String Set Queries

• 题意略。

• 一眼 AC 自动机，但是 AC 自动机是离线的。

• 考虑使用启发式重构。不删除，另开负贡献数据结构做减法。

• 总复杂度 $O(\sum |S|\log n)$。

• 但实际上空间开不下，必须动态开点，动态开点的 AC 自动机想 destruct（我指的是撤销 trie 图）恶心得要死，我根号重构逃课算了（当然这一做法不仅复杂度劣，常数可能还大...）。

• 本题还有一个有趣的根号分析+哈希的做法：通过字符串哈希来做匹配，容易证明不同的长度至多有 $\sqrt{n}$ 种，于是暴力就是 $O((\sum |S|{)}^{\frac{3}{2}})$ 的。当然也可以根号分治一下，把里面的短串插进 trie 来代替哈希，但显然并不必要。