前缀函数与 KMP

前缀函数

• 前缀函数 ${\pi }_i$ 为 $s_{1\dots i}$ 的最大相同真前后缀长度。

• 如无特别说明，本文中所有字符串下标从 $1$ 开始，长度为 $n$。

• 考虑怎么求前缀函数。

• 首先肯定能想到暴力的 $O(n^3)$ 枚举 $i,len,j$ (子串长度，匹配长度，然后一位位验证)。但太蠢了，找一点性质。

• 结论一：${\pi }_{i+1}⩽{\pi }_i+1$ 。

  • 证明：最多多配一位。如果多配了 $k$ 位，说明
  $$s_{{\pi }_{i+1}-k+1\dots {\pi }_{i+1}}=s_{i+1-k+1\dots i+1}$$
  • 从而
  $$s_{{\pi }_{i+1}-k+1\dots {\pi }_{i+1}-1}=s_{i+1-k+1-1\dots i}$$
  • 即
  $$s_{{\pi }_{i+1}-k+1\dots {\pi }_{i+1}-1}=s_{i-k+1\dots i}$$

  • 说人话就是，多配的这几位除了 $s_{i+1}=s_{{\pi }_{i+1}-1}$ 这一位以外，其他几位在 $i$ 处也可以配上，毕竟他们一样，而且都是 $s_{1\dots i}$ 的子串。只有新增的这一位是 $i+1$ 时才能配上的（后缀意义下是向右新走了一位）。

  • 真前后缀意义下，${\pi }_{i+1}<i+1$，所以一定有 ${\pi }_{i+1}-1<i$ 。

• 上面的优化可以抽象化为 $\delta ({\pi }_i,s_{{\pi }_i+1})={\pi }_i+1(s_{i+1}=s_{{\pi }_i+1})$ 。那么，能不能构造出相应的 $s_{i+1}\ne s_{{\pi }_i+1}$ 的转移？

• 结论二：考虑在 $s_{i+1}\ne s_{{\pi }_i+1}$ 时将尝试匹配的长度从 ${\pi }_i+1$ 减小到 $j+1$，使得对于 $s_{1\dots i},s_{1\dots j}=s_{i-j+1\dots i}$。运用后缀链接思想，$j={\pi }_i$。

  • 从而 $\text{if }{s}_{i+1}=s_{j+1},{\pi }_{i+1}=j+1$，仍然失配则求 $j^{\prime }$。可以看出这是一个递归过程，边界条件为 $j=0$，此时仍然不行则 ${\pi }_{i+1}=0$。

  • 所以 $j^{\prime }={\pi }_j(j>0)$。

• 综上所述，令 $j={\pi }_i$ 我们有

$$\delta ({\pi }_i,s_{i+1})=\{\begin{array}{ll}{\pi }_{i+1}=j+1& s_{i+1}=s_{j+1}\\ {\pi }_{i+1}=0& s_{i+1}\ne s_{j+1}\wedge j=0\\ {\pi }_{i+1}=\delta ({\pi }_j,s_{i+1})& s[i+1]\ne s[j+1]\wedge j>0\end{array}$$

• 即前缀函数自动机，有时也被称为 KMP 自动机。

• 我们设势函数 $\varphi (i)={\pi }_i$，下面的 $\varphi (\pi )$ 指的就是 $\varphi$，只是为了强调和当前的 $\pi$ 强关联。

• 则转移 $(1)$ 的摊还代价等于 $O(1)+\varphi (1)$，转移 $(2)$ 的摊还代价等于 $O(1)$。

• 极限情况下 ${\pi }_i=i$，即单次回跳仅仅让 $\pi -1$。从而转移 $(3)$ 的单次复杂度上界为 $O({\pi }_i)-\varphi ({\pi }_i)+\varphi ({\pi }_{i+1})$。注意，负的势函数变化量才是正的时间复杂度。

• 实际上的操作过程中可能先 $(3)$ 再 $(1)/(2)$，但这可以忽略，总次数都是 $O(n)$。

• 显然任意次转移 $(1)$ 提供的复杂度和势函数是 $n$ 以下的，于是因为转移 $(3)$ 每次回跳至少令势减小 $1$，而总势不超过 $n$，从而回跳次数不超过 $n$。

• 故此算法复杂度为 $O(n)$。该算法可以在线，即一位位地读。给出示范代码。

il void kmp(){
	int j=0,n=s.size()-1;
	For(i,2,n){
		while(j && s[i]!=s[j+1]) j=pi[j];
		j+=s[i]==s[j+1];
		pi[i]=j;
	}
	return;
}

KMP 算法

求出现

• 考虑求 $T$ 中 $P$ 的所有出现位置。

• 原始的 KMP 算法如下：

  • 构造字符串 $P+x+T$，这里 $x$ 是一个分隔符。需要保证其不在 $P$ 或 $T$ 中出现。

  • 求该字符串的前缀函数。不妨记 $|P|=n$，则对于所有 $i>n+1\wedge {\pi }_i=n$ 的位置，$T$ 中存在一个以 $i$ 结尾的 $P$。之所以是等于号，是因为总有 $\pi ⩽n$。

• 该算法其实不太聪明。目前比较常用的做法是，求出 $P$ 的前缀函数，然后扫一遍 $T$，维护当前在前缀函数自动机上的位置。复杂度可以通过同样的势能分析做到 $O(n+m)$，这里 $m=|T|$。

• 考虑推广到特殊一点的情况，譬如势能分析不成立的情况。此时注意到我们的复杂度主要是因为连续失配而炸掉，考虑将失配边路径压缩，即将 $\delta$ 边（正边）和 $\pi$ 边（反边）结合起来直接构造 $e(\pi ,c)$，做到 $O(1)$ 寻找后继。可以通过倍增实现或者类 AC 自动机实现（事实上，AC 自动机就是多模式串的前缀函数自动机，只是因为多模式串而套了个 trie 的壳子并略改变了 fail 边的逻辑），这里不赘述。

求前缀出现

• 考虑求 $S$ 中所有前缀的出现次数。

• 我们知道这是 AC 自动机上 DP 的经典问题，但考虑一下能不能不建自动机解决它。

• 可以。首先将 $\pi$ 的贡献计算（不考虑 ${\pi }_{\pi }$），然后类似完全背包，利用一下后效性，倒序枚举前缀的长度，$t_{{\pi }_i}+=t_i$。

• 最后将本来就是前缀的贡献加一下。

• 考虑求 $T$ 中 $S$ 所有前缀的出现次数。

• 没有本质区别，只是略去第三步。

求周期

• 考虑求 $S$ 的最短周期。定义 $S$ 的周期为 $p$，使得 $\mathrm{\forall }i\in [1,n-p+1],S_i=S_{i+p}$。

• 引入 border：若 $s$ 是 $S$ 的一个真前缀且 ${\pi }_n⩾|s|$，则 $s$ 为 $S$ 的一个 border。显然 $S$ 可以有很多不同长的 border，但我们一般只关心最长的。

• 有结论：$S$ 的最短周期 $p=n-|s|$。由定义易得，毕竟这相当于直接把 border 平移到了和它匹配的后缀上。

求压缩

• 考虑求 $S$ 的最短压缩。定义 $S$ 的压缩为 $|s|$，满足 $s$ 是 $S$ 的前缀且 $S$ 可由一个或多个 $s$ 拼接而来。

• 结论：若 $(n-{\pi }_n)\mid n$，则最短压缩 $r=n-{\pi }_n$，否则最短压缩 $r=n$。

  • 不妨将 $S$ 划分为若干段，每段长都为 $r$。于是长为 $n-r=n-(n-{\pi }_n)={\pi }_n$ 的前后缀应当相等。

  • 但这代表着第一块和第二块相等，同理第二块和第三块相等，etc.

  • 其最优性显然，若存在更短压缩，则会有更短块，于是 $r-1$ 块会更长，故 ${\pi }_n$ 会更长。

  • 若不可整除，则显然即使存在 $r$，也会有 $r>n-{\pi }_n$（证明同最优性证明），此时对 ${\pi }_n$ 分讨即可：

    • 若 ${\pi }_n<=\frac{n}{2}$，则 $r>n-{\pi }_n>=\frac{n}{2}$，显然想要整除只能为 $n$。

    • 否则，我不会证。

在线求本质不同的子串数目

• 考虑求 $S$ 中本质不同的子串数目，要求支持双端加/删字符。

• 都在线了，肯定是递推啊...不然叫 SA 来不就好了（当然 $O(n)$ SA 科技可以硬吃在线，可惜我不会）。

• 只讨论后端加字符。构造 $Sn=S+c$，将其翻转获得 $S{n}^{\prime }$，对 $S{n}^{\prime }$ 求前缀函数，则长度不大于 $max\pi$ 的所有前缀都在 $S$ 中出现过，故新增子串数为 $|S|+1-max\pi$。

• 其他情况显然同理，复杂度为 $O(n^2)$。如果是初始+操作的话，初始也许可以考虑用 SA 来卡常。

CF1200E Compress Words

• 题意略。不断求第二个串的 $\pi$，然后和第一个串的后缀匹配，总复杂度 $O(\sum |S|)$。

CF808G Anthem of Berland

• 题意略。

• 建出 $S$ 的前缀函数自动机，设计 dp 如下：

  • 状态设计：$f_{i,j}$ 表示当前考虑完 $T$ 的前 $i$ 位，当前匹配了 $j$ 位，最大已有匹配次数。

  • 初始化：$f_{0,0}=0$。

  • 状态转移：读字符或枚举字符，然后暴力转。

• 复杂度 $O(|S||T||\mathrm{\Sigma }|)$。

P2375 [NOI2014] 动物园

• 题意略。

• 首先显然可以建出前缀函数自动机来解决，但一个更妙的方式是，用求 $\pi$ 的方式来求 $num$，因为对 $num$ 来说两个结论都成立。于是 $O(T|S|)$。