结合律优化
概述
- 结合律优化通过将冗长的转移用结合律压缩，高效实现...取某一段的 dp 结果？也可以带修。
实现原理
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首先，对应 DP 要满足结合律，即各部分转移的形式相互独立。典型的反例譬如求可行性的背包问题。
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然后上线段树。视情况不同，可能是基于矩阵的 DDP 或纯粹靠复杂线段树的...线段树优化 DP？另外还有全局平衡二叉树和 LCT 实现，但我都不会。
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如果不带修，也可以使用倍增实现。
例题
从最大子段和讲起
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题意：求 \(a_n\) 的最大子段和，带 \(m\) 次单点修改。
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数据范围：\(n,m\leqslant 10^5\)。应该也能 \(10^6\)？
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先谈谈静态意义下的朴素 dp。
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状态设计：\(dp_i\) 表示以 \(i\) 结尾的最大子段和。
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初始化：\(dp_0=0\)。
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转状态转移方程：\(dp_i=\max(dp_{i-1}+v_i,v_i)\)。
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OK，这是一个很朴素的 \(O(n)\)。显然 \(O(nm)\) 不可接受，但我们看到它的转移条件基本互相不依赖，满足结合律。
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故首先考虑 DDP。考虑把每个转移都做成矩乘的形式：
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状态矩阵：\(\begin{bmatrix}dp_i & ans & 0\end{bmatrix}\)。特别地，一开始 \(ans=-inf\)。
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乘法法则：\(res_{i,j}=\max_{k=1}^m(A_{i,k}+B_{k,j})\)。显然，其满足结合律。
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转移矩阵：\(\begin{bmatrix}v_{i+1} & 0 & 0 \\ -inf & 0 & 0 \\ v_{i+1}& -inf &0\end{bmatrix}\)。
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解释一下，这里希望令 \(ans=max(ans,dp_i)\)，这样真正的答案 \(Ans=\max(ans,res_1)\)，\(res\) 是最后的答案矩阵。
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为什么求这个 \(ans\)，而不是利用线段树对 \(dp_i\) 求 \(\max\)？嗯...DDP 的 sgt 的功能是把转移矩阵结合起来，不能求出每个 \(dp_i\)，显然这样做的复杂度下界就是 \(O(n)\)。DDP 的本质上是把中间转移和中间结果压掉了。
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总复杂度 \(O(m\log n\times 3^3)\)，大概能过 \(10^5\) 的数据。
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我们发现这个矩阵非常空，足有 \(4\) 格没有意义。说明我们有点浪费，设法深挖线段树的潜力，我们搞一个纯用复杂线段树维护的：
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在每个节点维护 \(mx,lf,rg,sum\) 表示区间最大子段和，左起最大子段和，右起最大子段和，区间和。
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写一个复杂的 pu，这里不想写了可以参看 \(\text{P4513 小白逛公园}\) 的代码。询问的时候，返回值设计成一个 node，套用这种合并方式。
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核心在于什么呢？相当于我们把 dp 的形式又改了改，以重构它原来的从左向右的顺序，变成了类似于 \(((),()),((),())\) 的形式。这就满足只靠线段树维护的需求。
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22.10.10 T3 mountains
- 版权原因，请移步查看。
P4719 【模板】"动态 DP"&动态树分治
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题意：给出一棵 \(n\) 个点的带点权树，有 \(m\) 次单点修改点权的操作，请在每次修改后求最大权独立集的权。
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数据范围：\(n,m\leqslant 10^5\)。
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老规矩，先考虑怎么静态 DP。这个东西显然非常 tdp，考虑这么做：
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状态设计：\(dp_{i,0/1}\) 表示考虑完 \(i\) 的子树，选/不选 \(i\) 的情况下的最大权独立集的权。
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初始化：\(dp_{i,0}=0,dp_{i,1}=w_i\)。
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状态转移方程：
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\(dp_{i,0}=\sum\limits_{j\in \text{sons of i}} \max(dp_{j,0},dp_{j,1})\)。
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\(dp_{i,1}=\sum\limits_{j\in \text{sons of i}}dp_{j,0}+w_i\)。
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这个东西是 \(O(n)\) 的，很好。我们考虑把它改成 \(O(n\log)\) 的在线做法。
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然而我们显然不能对着树直接做结合——单链的情况下，结合就会到达 \(n\) 次，无法接受。
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注意到这个转移中各个儿子其实互相没有影响。我们考虑把树的结构改成更可合并一些的结构：轻重剖！
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如果我们能做到仅在每个虚边上做一次合并，那么我们的复杂度显然就对了。
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所以考虑重新设计 DP。
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状态设计：\(f_{i,0/1},g_{i,0/1}\)。其中 \(f\) 相当于 \(dp\)，\(g\) 则表示只考虑轻儿子和自己的情况下的最大权。
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初始化：区别不大，略。
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状态转移方程：
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\(g_{i,0}=\sum\limits_{j\in \text{light sons of i}} \max(f_{j,0},f_{j,1})\)。
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\(g_{i,1}=\sum\limits_{j\in \text{light sons of i}}f_{j,0}+w_i\)。
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\(f_{i,0}=g_{i,0}+\max(f_{hs,0},f_{hs,1})\)。
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\(f_{i,1}=g_{i,1}+f_{hs,0}\)。
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这里不妨假设我们手上已经有了全套的 \(g\)。设法把 \(f\) 的转移写成矩乘的形式：
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状态矩阵：\(\begin{bmatrix}f_{i,0} & f_{i,1}\end{bmatrix}\)。这里 \(i\) 可以认为就是 \(i+1\) 的 \(hs\)。
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乘法法则：\(res_{i,j}=\max_{k=1}^m(A_{i,k}+B_{k,j})\)。
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转移矩阵：\(\begin{bmatrix} g_{i+1,0} & g_{i+1,1}\\ g_{i+1,0} & -\infty\end{bmatrix}\)。嗯，这是和原转移方程等价的。
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那么我们只要将树剖好，单点修改的时候先修矩阵做到链头，然后用增量法暴力算一下 \(g_{fa_{top}}\)，再修一下矩阵，一路做回去就对了。
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复杂度 \(O(na^3\log^2 n)\)，但是树剖实在是快得飞起。
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这东西把我写吐了...
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每个重链要单独开 sgt 否则和我们需要的合并方式不一样（除非用区间询问，但那也太鬼了）。
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对链维护的其实是转移矩阵 \(G\) 的连乘，\(F\) 需要的时候才拎出来。事实上只维护了重链头和尾处的 \(F\)...当然，实现是比较随意的事情。
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把 \(F\) 初始化成一元以便于它和自己的 \(G\) 相乘。本来想的是按需求放各种一元，但实际上好像没有怎么用到。
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不断地记录 \(w,f,g\) 以便于使用增量法，或者说算 \(\Delta\)。
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总之就是非常恶心。
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P5024 [NOIP2018 提高组] 保卫王国
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题意：给出一棵 \(n\) 个点的带点权树。给出 \(m\) 个询问，每个询问会钦定 \(2\) 个点分别必选/不选，求该前提下的最小权点覆盖的权。
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数据范围：\(n,m\leqslant 10^5\)。
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怎么这么喜欢把 DDP 搬到树上啊！还都是很图论基础概念的东西...
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我们还是来设法先设计一个静态 DP。
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状态设计：\(dp_{i,0/1}\) 表示考虑完 \(i\) 的子树，选/不选 \(i\) 的前提下，最小权点覆盖的权。
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初始化：\(dp_{leaf,1}=w_i\)。
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状态转移方程：
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\(dp_{i,0}=\sum\limits_{j\in \text{sons of i}} dp_{j,1}\)。
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\(dp_{i,1}=\sum\limits_{j\in \text{sons of i}} \min(dp_{j,0},dp_{j,1})+w_i\)。
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我真是欲言又止止言又欲...这不就是上面那个的镜像吗...哦不全是是吧？
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尽管贺自己的东西并没什么，但我们还是最好把这玩意搞懂吧...深蓝，给我推式子！（？？？）
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还是考虑用重剖来解决这玩意。首先乱七八糟重剖一下，然后我们重新设计 \(dp\) 状态：
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状态设计：\(f_{i,0/1},g_{i,0/1}\)。意义参前。
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初始化：略。
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状态转移方程：
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\(g_{i,0}=\sum\limits_{j\in \text{sons of i}} f_{j,1}\)。
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\(g_{i,1}=\sum\limits_{j\in \text{sons of i}} \min(f_{j,0},f_{j,1})+w_i\)。
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\(f_{i,0}=g_{i,0}+f_{hs,1}\)。
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\(f_{i,1}=g_{i,1}+\min(f_{hs,0},f_{hs,1})\)。
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确实是...很一样呢，哈哈哈（棒读）。让我看看剧本...哦该拆矩阵了是吧...好...
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状态矩阵：\(\begin{bmatrix} f_{i,0} & f_{i,1}\end{bmatrix}\)。
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乘法法则：唔，这里用 \(\min\) 就可以了。
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转移矩阵：\(\begin{bmatrix} +\infty & g_{i+1,1} \\ g_{i+1,0} & g_{i+1,1}\end{bmatrix}\)，这里认为 \(i=hs_{i+1}\)。
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后面显然都一样了。你就当是一道非常难写的水紫吧...毕竟上面那份代码还在可以改改就用对吧，啊哈哈哈（棒读）。
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什么，不是单点修改？什么不是单点修改，就是单点修改！必选就是 \(-\infty\)，必不选就是 \(+\infty\)，这不就完了？
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主要难搞的地方在于这个修改是...嗯...临时性的，你懂我意思吧？得记录一下，用完改回来。
为什么不用复杂线段树呢？
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两个理由：
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难以实现；
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缺乏优势。
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先谈实现难度。考察最大子段和和 mountains 两道题，发现两者的 DP 形式其实较简单，这一简单的含义如下：
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存在一种较为简洁的方式，可以将多次转移合并为一次。
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以最大子段和为例：
\[\begin{aligned} dp_i & = \max(dp_{i-1}+v_i,v_i) \\ & = \max(\max(dp_{i-2}+v_{i-1},v_{i-1})+v_i,v_i) \\ &=\max(dp_{i-2}+v_{i-1}+v_i,v_{i-1}+v_i,v_i)\end{aligned} \] -
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转头考察 P4719，首先我们得两个一起转移因为它们是互转的，然后！DP 状态将会非！常！恶！心！
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\(g\) 的定义将变成“轻儿子和重链上不超出对应 sgt 节点管辖范围的部分”的最大权独立集的权。
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只有这样，我们才能符合线段树的形式地把重链 DP 出来，即扬弃链底-链头的顺序，改为在链上分治的 sgt 风格。
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再谈缺乏优势。
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大部分情况下，结合律优化用复杂 sgt 的转移近似于状态数的 \(^2\)，而矩乘近似于 \(^3\)。
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实际情况中一般都会有溢出。
- 先谈矩乘。
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较为典型的例子，譬如某些需要即时结算 \(ans\) 的题目，此时只能把 \(ans\) 也塞进矩阵，容易证明这会造成很多浪费（很多与 \(ans\) 相关的转移都是无效转移，用 \(+-\infty\) 顶掉的）。
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类似地，有时转移的系数 \(w\) 之类的也得塞进去。甚至有时状态矩阵里要放 \(0\) 来占位...
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有并行转移的 DP 就更不用说了，举个例子，\(3^2+5^2\) 的复杂度能暴涨到 \(8^3\)。
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矩乘有这么多无效转移，很大程度上就说明了它是一种很粗放的实现方式。但如果矩阵很小，那么它的表现还是挺不错的。
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再谈复杂 sgt。
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复杂 sgt 本身的分治要求有时对 DP 本身的固有顺序破坏很大。譬如这里就要被迫重新定义，还得同时跑 \(f,g\)，作为对比矩乘只需要做 \(G\)。
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转移本身系数大点是很正常的事情。
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- 先谈矩乘。
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综上，这里 \(2^3\) 并不比 \(2^2\) 差多少，这还没有考虑 sgt 自己的各种额外系数。所以啊，矩乘码量大却简单啊！
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P8820 [CSP-S 2022] 数据传输
- 参看树形 DP-难以形容的其他树上依赖式问题。
