概率和期望

概率

概述

• 概率即随机事件出现的可能性大小。

性质

• 概率满足贝叶斯公式，但这和 OI 没啥关系。

• 对于相互独立的事件，概率满足加法原理和乘法原理。

• 这里的加法原理指求多个事件至少发生一个的概率，乘法原理指某些事件同时发生的概率。

• 对于独立事件，可以表示为：$P(B\mid A)=P(A),P(A\times B)=P(A)\times P(B)$。其中 $P(B\mid A)$ 表示 $A$ 在 $B$ 发生的条件下发生的条件概率，$P(A\times B)$ 表示 $A,B$ 同时发生的概率。

求解

• 对于实数：可以考虑模拟。有限样本空间可以全枚举，无限样本空间可以使用随机（请使用 mt19937）。

• dp。利用加法和乘法原理，构造递推式递推。如果有环，那么可以使用高消。

• 对于事件等概率的情况或能转化为事件等概率的情况：转化为求各事件方案数，然后除以总方案数。

期望

概述

• $E=\sum _i{P}_i\times (v_{i}or{c}_i)$。根据求的是发生事件的价值或代价而不同。

• 更自然语言的定义：对于一个样本空间，如果我们把其中的事件赋上价值或代价，那么期望就是这个样本空间的平均价值/代价。

求解

• 按照定义式。有些时候会进一步地把概率转化成方案数，即所谓“黄金公式”，参看随机数生成器、T4 砍树。

• 同概率，利用递推性。举个例子，在有向无环图上求每个点到终点的期望距离（注意这是个逆向 dp！），则 $E(now)={\displaystyle \frac{1}{sons}}(E(son)+edge.len)$（注意这是一个抽象模型，凡是可递推的都可以抽象成图。参看迷失游乐园）。

• 分步计算。相当于推式子，将之转化为第 $i$ 次尝试的概率。则 $E=\sum _i{P}_i\times v_i$，这里的 $P_i,v_i$ 是第 $i$ 次成功；然后定义 $P_i^{\prime },v_i^{\prime }$ 为进行了第 $i$ 次尝试，则有 $E=\sum _i{P}_i^{\prime }\times v_i^{\prime }$。

例题