群论

定义

• 群是由一个集合 \(G\) 和一个作用于 \(G\) 上元素的运算 \(\ast\) 所组成的，满足如下性质的代数结构（有时会略去封闭性）：

  • 封闭性：\(\forall a,b\in G,a\ast b\in G\)。

  • 结合律：\(\forall a,b,c\in G,(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)\)。

  • 单位元：\(\exists \epsilon \in G,\forall a\in G,a\ast \epsilon=\epsilon \ast a=a\)。

  • 逆元：\(\forall a\in G,\exists b\in G,a\ast b=\epsilon\)。记 \(b=inv_a\) 或 \(a^{-1}\)。

• \((G,\ast)\) 常简记为 \(G\)，略去运算。

• 若 \((G,\ast)\) 满足前两条，则称它为一个半群。

• 若半群 \((G,\ast)\) 满足第三条，则称它为一个幺半群。

• 若群 \((G,\ast)\) 满足 \(\forall a,b\in G,a\ast b=b\ast a\)，则称它为一个阿贝尔群，又称交换群。

• 环是由一个集合 \(R\) 和两个作用于 \(G\) 上的运算 \(+,\ast\) 所组成的，满足如下性质的代数结构：

  • \((R,+)\) 构成交换群。

  • \((R,\ast)\) 构成半群。

  • 分配律：\(\forall a,b,c\in R,a\ast (b+c)=a\ast b+a\ast c \land (a+b)\ast c=a\ast c+b\ast c\)。

• \((R,+,\ast)\) 常简记为 \(R\)，略去运算。

• 若环 \(R\) 的 \(\ast\) 满足交换律，则称它为一个交换环。

• 若环 \(R\) 的 \(\ast\) 存在单位元，则称它为一个幺环。

• 对于幺环 \(R\)，记其加法单位元为 \(0\)，则若 \(\forall a\in R \land a\neq 0,\exists a^{-1}\)，则称它为一个除环。

• 交换除环称为域。事实上，我们一般谈论的都是域，例如复数域及其各种子域。

基本性质

单位元唯一性

• 对于任意的幺半群 \(G\)，\(\epsilon\) 是唯一的。

• 使用反证法：\(\epsilon_1=\epsilon_1\epsilon_2=\epsilon_2\)。

逆元唯一性

• 对于任意的群 \(G\)，\(\forall a\in G,a^{-1}\) 是唯一的。

• 使用反证法：\(a_1^{-1}=a_1^{-1}\epsilon=a_1^{-1}aa_{2}^{-1}=\epsilon a_2^{-1}=a_2^{-1}\)。

阶

• 若群 \((G,\ast)\) 中集合 \(G\) 是有限集，那么称群 \(G\) 为有限群。

• 群 \(G\) 中元素 \(a\) 的阶，指的是一个最小正整数 \(\operatorname{ord}(a)\)，使得 \(a^{\operatorname{ord}(a)}=\epsilon\)。

  • 注意到 \(a^{\operatorname{ord}(a)-1}\ast a=\epsilon\)，即 \(a^{-1}=a^{\operatorname{ord}(a)-1}\)。

• 由群的封闭性，对于任意有限群 \(G\)，\(\forall a\in G\)，\(a\) 的阶一定存在，否则无限了。

• 群 \(G\) 的阶是集合 \(G\) 中的元素个数。对于无限群，规定它的阶为 \(0\)。

• 定理 1：

\[\forall a,b\in G \land \operatorname{ord}(a)\perp \operatorname{ord}(b),a^{k_a}b^{k_b}=\epsilon\leftrightarrow a^{k_a}=b^{k_b}=\epsilon \]

• 定理 2：

\[\forall a,b\in G,\exists c\in G\to \operatorname{ord}(c)=\operatorname{lcm}(\operatorname{ord}(a),\operatorname{ord}(b)) \]

• 构造元素 \(a^{\operatorname{ord}(a)}b\)，发现...

• 发现这两个定理不足够充分证明我想要的结论...推迟维护。直接放结论吧。

• 结论 1：\(\forall a\in G,\operatorname{ord}(a)\mid |G|\)。