模拟退火
概述
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模拟退火是一种模拟物理学中材料退火现象的近似算法。
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在物理的退火过程中，随着温度的逐渐降低，各粒子的能量会趋向性地稳定在最小值附近（但也有概率反常升高）。
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于是我们尝试构建一种算法来模拟退火过程，对于每个状态，其估价函数越好，“能量”越低，反之亦然。
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而温度就是体系活跃程度，即愿意改变状态的程度的标量。
思路
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爬山算法的一个致命问题就在于，找到局部最优解后难以跳出其局限。
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投放大量状态固然不失为一种选择，但显然只是一种补救而已。
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我们能不能设法设计某种算法，其中的状态有一定的概率向不优（指估价函数）的状态转移过去？
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于是有了模拟退火。
实现原理
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开始时随机生成多个初始状态，并设置初始温度 \(T_0\)，降温系数 \(D\)（通常 \(\in [0.985,0.999]\)），终止温度 \(T_k\)。
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模拟退火算法的表现基本不依赖初始状态的状态，但可能依赖数量。
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温度 \(T\) 是当前体系的一个标量，它标示着当前体系的活跃程度，也即愿意转移的程度（即使转移目标是一个较差解）。
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模拟退火算法的表现比较依赖初始温度，原则上讲总体退火轮数越多效果会越好，但也越慢。
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每轮我们依次枚举所有状态，从它们出发尝试扩展下一轮的状态。
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对于每个被扩展出的状态，转移到它的概率是如下的函数：
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其中 \(e\) 为自然对数的底，\(\Delta E=E_{to}-E\)。模拟退火中我们认为 \(E\) 越小的状态越优。
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观察公式会发现，
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当 \(\Delta E\leqslant 0\)，即目标状态不劣于当前状态：一定转移，因为 \(P\geqslant e^0=1\)。
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当 \(\Delta E>0\)，即目标状态劣于当前状态：
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\(e^\frac{-\Delta E}{T}=\dfrac{1}{e^\frac{\Delta E}{T}}=\dfrac{1}{\sqrt[T]{e^{\Delta E}}}\)
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可以看出，\(\Delta E\) 越大即这一转移越差，分母越大，转移概率越小。
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\(T\) 越大即温度越高，体系越活跃，分母越小，转移概率越大。
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每轮结束时，令 \(T=T\times D\)。若 \(T<T_k\) 则结束。
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由于模拟退火有可能最终解没有过程解优，我们一般维护遇到过的所有解的最优解。
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由于最后的解可能不够精确，一般在退火完毕后做少量随机扰动。
例题
P1337 [JSOI2004] 平衡点
- 直接放代码吧。充当一个模拟退火的示范代码。
ld x,y;
il void SA(){
ld T=1e7,D=0.997,Tk=1e-9,tx,ty,delta;
x=rd01(),y=rd01();
while(T>Tk){
tx=x+zfrd()*rd01()*T;
ty=y+zfrd()*rd01()*T;
delta=calc(tx,ty)-calc(x,y);
if(exp(-delta/T)>rd01()) x=tx,y=ty;
T*=D;
}
For(i,1,10000) calc(x+zfrd()*rd01()*0.1,y+zfrd()*rd01()*0.1);
return;
}
