随机探测

概述

• 随机探测通过用随机的探针测试某个黑箱，来获得该黑箱高度可能的状态。

• 太抽象？没关系。就来例题。

例题

测素

• 给定一个数，判断它是否是质数。

• 我们知道，由费马小定理，\(p\) 是质数是 \(\forall x<p,x^{p-1}=1\) 的充分条件。

• 尽管这不必要，但事实上我们可以期望 \(\forall x<p,x^{p-1}=1\) 却又不是质数的 \(p\) 极少，极稀疏。

• 考虑用它来测素。这个命题很好，但枚举 \(\forall x<p\) 显然无法接受。考虑枚举一部分 \(x\) 来做检测，更进一步地，可以考虑枚举 \(<p\) 的质数。

• 实践中，只使用前 \(8\) 个质数（\(2,3,5,7,11,13,17,19\)）在 \(9\times 10^{18}\) 范围内只有一个数字会判错，可以 \(O(\log)\) 地判断一个数字是否极可能是一个质数。

• 如果真的判错了怎么办？无所谓。如果判错了，那么该数字虽然不是质数，但是，它具有极高的素性，可以“充当一个质数”来使用，在绝大部分情况下也没问题。

• 更有效的办法就是 Miller-Rabin 测素，它也是典型的随机探测。

darkbzoj 2396/51Nod 1140 神奇的矩阵

• 题意：给定三个 \(n\times n\) 的矩阵 \(A,B,C\)，请判断 \(A\times B=C\) 是否成立。

• 数据范围：\(T\leqslant 5,n\leqslant 10^3,v_{i,j}\leqslant 10^3\)。

• 暴力做肯定 T 了，毕竟 \(5\times 10^9\) 如果 \(1s\) 过了我们怕不是在 \(2077\) 年。

• 我会构造探针！随机构造一个 \(1\times n\) 的矩阵 \(rnd\) 作为探针，于是只要判断 \(rnd\times A\times B=rnd\times C\) 是否成立即可。

• 复杂度骤降至单次探测 \(n^2\)，计算可得 \(times=10\)（考虑常数后的结果）。正确率不会证，但显然够了。

• p.s.darkbzoj 上这道题炸了，不过可以下数据自测。

P1224 [NOI2013] 向量内积

• 没有完全理解，等一段时间。

• 23.1.15 upd：等得太久了，已经忘了。无限期推迟直到我再度修缮本篇，届时大概会考虑把这道题重新理一理。事实上，如 Quare 的“立马补了笔记”反而是不常见的。