随机选择

概述

• 随机选择通过随机地取总数据的某一部分，来尝试着获取总体数据或总体数据的代表性部分的信息，恰如抽样调查。

例题

CodeChef MSTONE

• 题意：给出落在 \(7\) 条直线上的 \(n\) 个点（有些点可能是交点），求点数最多的那条直线上的点数。

• 数据范围：

  • \(T\leqslant 30\)。

  • \(n\leqslant 10^4\)。

  • \(|x|,|y|\leqslant 1.5\times 10^4\)。

  • \(858ms\) 时限。

• 每次随机选两个不同的点（把 \(n=1\) 特判掉），暴力 check 其他点和它们是否共线。注意竖线的 check 方式要特判。

• 单轮正确率 \(\geqslant \dfrac{1}{7^2}\)，因为点最多的直线上点较多，被选中的概率较大。

• 那个奇怪的时限算下来是 \(times=286\)，恰好是整数。总正确率（考虑了多组数据影响） \(92.07\%\)，嗯，大概就是多交几次就够了。

• 官方题解更妙：

  • 每次在点池（一开始是所有点）中随一个点，把其他点按照和它连线的斜率排序。

  • 从而我们能找到一条过该点的点数最多的直线，在点池中将这条直线上的点全部删去，反复该过程直到点池空了。

  • 分类讨论一下。

    • \(n\leqslant 42\)：最终答案可能不是某条原始直线。此时直接用我们的随机化，显然正确率不再是问题。

    • \(n>42\)：最终答案一定是某条原始直线，该原始直线一定被我们找到，把点池删空的时间复杂度不超过 \(O(n\log n)\)。

  • 证明一下下面这个结论：

    • 如果每次都删一条原始直线，结论显然正确。

    • 下面证明删非原始直线对结论没有本质影响。

      • 删非原始直线，说明取出的点所在直线点数 \(<7\)。

      • 故这样的操作至多进行不到 \(7\times 7=49\) 次。事实上这是个 \(O\)，\(\Theta\) 大概就在 \(7\) 左右，复杂度是对的。

• upd：既然可以排序斜率，自然可以桶排（hash 一下）...至少 \(\dfrac{1}{7}\) 的概率随到的点在答案直线上...于是正确率超高。

CF1114E Arithmetic Progression

• 题意：

  • 给定一个打乱的等差数列 \(a_{1\dots n}\)（\(n\) 是给出的），请在不超过 \(60\) 次操作内求出首项和公差（认为公差 \(\geqslant 0\)）。

  • 操作分为两种：询问 \(a_i\) 和询问是否存在 \(>x\) 的数。

• 数据范围：\(2\leqslant n\leqslant 10^6,0\leqslant a_i\leqslant 10^9\)。

• 首先二分把末项求出来，\(30\) 次。

• 然后！随机问 \(30\) 个点，排序，相邻做差，对差求 \(\gcd\)！

• 有极大的概率 \(\gcd\) 就是公差，\(\gcd\) 不是公差的前提是所选各项的项数差的 \(\gcd>1\)，我不会算但反正就是很小的一个概率啦。

CF1729E Guess the Cycle Size

• 题意：

  • 给定一个大小为 \(n\) 的（简单）环，环上点的编号构成一个 \(1\sim n\) 的排列，请在不超过 \(60\) 次操作内求出环的大小。

  • 操作只有一种：询问 \(u,v\) 的距离。

    • 如果 \(\max(u,v)>n\)，返回 \(-1\)。

    • 否则等概率随机返回两条路径中某一条的长度。这里的“任意一条”指的是，对于询问 \((u,v)\)，总是取同一条，但可能 \((v,u)\) 对应的是另一条。

• 数据范围：\(n\leqslant 10^{18}\)。

• 先花点时间算一个 \(n\) 的下界（可能不必要？）。

• 在下界内每次随两个点 \(u,v\)，同时询问 \((u,v)\) 和 \((v,u)\)。

• 两者返回同一条路径（这里就认为是路径长度相同，忽略掉对称点的微小影响）的概率是 \(\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}\times 2=\dfrac{1}{2}\)。

• 则一直错的概率很小，肯定小于 \(0.1\%\)，足够通过本题。

CF1305F Kuroni and the Punishment

• 题意：给定一个数列 \(a_{1\dots n}\)，单次操作可以将 \(a_i+1\) 或 \(-1\)，求最小的操作次数，使得 \((\gcd_{i=1}^n a_i)>1\)（必须总有 \(a_i>0\)）。

• 数据范围：\(n\leqslant 2\times 10^5,1\leqslant a\leqslant 10^{12},2.5s\) 时限。

• 首先我们发现，\(ans\leqslant n\)。因为把它们都改成偶数一定可行。

• 在此基础上考虑更优的解，更优的解中被改动 \(>1\) 次的 \(a_i\) 一定不超过 \(\dfrac{n}{2}\) 个。

• 于是每次随一个 \(i\)，把 \(a_i-1,a_i,a_i+1\) 的每个质因数都暴力试一下看看对应的 \(ans\) 是多少。单轮正确率 \(\geqslant \dfrac{1}{2}\)。

• 考虑 \(times\)，因为 \(a_i\leqslant 10^{12}\)，所以 \(\max\{\omega(a_i)\}\leqslant 11\)。大约能做 \(250\) 次，正确率显然奇高无比。

CF364D

• 题意：给定一个数列 \(a_{1\dots n}\)。定义其 \(\operatorname{Ghd}\) 为所有大小至少为 \(n\) 的一半的集合（可重）的 \(\gcd\) 的最大值，求其 \(\operatorname{Ghd}\)。

• 数据范围：\(n\leqslant 10^6,a_i\leqslant 10^{12},4s\) 时限。

• 考虑模仿上一题的思路，每次随一个点，它有 \(\dfrac{1}{2}\) 的概率在答案集合中。问题是，怎么求 \(\gcd\)？

• 首先我们知道，钦定选这个数 \(a_i\) 之后，每个数字 \(g\) 出现的次数即可整除的集合大小就是 \(\sum\limits_{j=1}^n[g\mid\gcd(a_j,a_i)]\)。

• 所以不妨先构造 \(b_j=\gcd(a_i,a_j)\)，后面都对 \(b\) 进行操作。

• 考虑 \(a_i\) 的所有约数，显然它们每一个都可能是 \(t\geqslant \dfrac{n}{2}\) 的可行解之一。可是暴力显然不行，\(d(10^{12})\to 6720\)，暴力扫一遍就 T 了。

• 稍等！如果那样的话，我们还取 \(b_j\) 干嘛？现在本质不同的 \(b_j\) 恰只有 \(d(a_i)\) 种！

• 综上，总复杂度为 \(times\times (n\log n+d(a_i)^2)\)，可以期望将 \(times\) 取 \(10\)，于是我们有 \(\dfrac{1023}{1024}\) 的正确率，足够通过本题。