随机打乱
概述
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某些题目的数据，如果顺序随机，将会有非常美妙的结论。
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但显然，除非写了“保证数据随机”（事实上，没给 generator 的随机都可以认为是构造...），否则出题人不会这样给数据。
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此时就要考虑将数据重排，以获得较优的效果。
如何随机打乱？
- 给出一种均匀随机的打乱算法及证明：
template <typename T>
il void ran(T a[],int n){
foR(i,n,2)
swap(a[i],a[_rand()%i+1]);
return;
}
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显然，当 \(n=1\)，该算法均匀随机。接下来我们考虑归纳证明。
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首先，我们可以把上面那个算法改写成递归形式：
template <typename T>
il void ran(T a[],int n){
if(n==1) return;
swap(a[n],a[_rand()%n+1]);
ran(a,n-1);
return;
}
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显然，“均匀随机”等价于对于所有的 \(n\) 的排列 \(\pi,P(a_{1\sim n}=\pi)=\dfrac{1}{n!}\)。
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尝试归纳证明。
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考虑把 \(n+1\) 的排列中的 \(n+1\) 删去，发现恰有 \(n+1\) 种 \(\pi'\)（分别对应 \(n+1\) 在 \(1,2,\dots,n+1\)）在删除后得到的 \(\pi\) 相同，且这些 \(\pi'\) 不同。
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从而得证，对于所有的 \(n+1\) 的排列 \(\pi',P(a_{1\sim n+1}=\pi')=\dfrac{1}{(n+1)!}\)。故该算法均匀随机。
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当然，也可以用
random_shuffle，该函数内部实现其实就是上面的算法。可以在 笔记-语法 里找到。
例题
P7606 混乱邪恶
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题意：
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给定一个六边形网格图。可以认为初始时在 \((0,0)\)。你有两种属性 \((L,G)\)，初始时属性为 \((0,0)\)。
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可以移动 \(n\) 次，每次移动有六种决策，第 \(i\) 种会使属性改变 \((\Delta_{i,1},\Delta_{i,2})\)（直接相加）。这里的加法是在 \(\bmod\ p\) 意义下进行的。
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问是否存在一种方案，使得在 \(n\) 步后回到 \((0,0)\)，且属性为给出的 \((L^* ,G^* )\)。
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数据范围：
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\(1\leqslant n,p\leqslant 100\)。
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其他数据 \(<p\)。
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\(700ms\) 时限。
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首先我们需要对六边形网格图进行坐标规定，否则没法做。一个常见的编码方法是：
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右上，\((+1,+1)\)。
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右，\((+1,0)\)。
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右下，\((0,-1)\)。
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左下，\((-1,-1)\)。
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左，\((-1,0)\)。
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左上，\((0,+1)\)。
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其实就是认为右是 \(x\) 轴正方向，左上是 \(y\) 轴正方向，右上是 \(l:y=x\)。当然编码方式很多的，随便用一个就好啦。
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然后...然后这个东西怎么看都很 dp 吧？
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状态设计：\(dp_{i,x,y,L,G}\) 表示走了 \(i\) 步，当前在 \((x,y)\)，当前的属性为 \((L,G)\)，可不可行。
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初始化：\(dp_{0,0,0,0,0}=1\)。
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递推转移：\(dp_{i,x,y,L,G}\to dp_{i+1,x+dx,y+dy,L+dl,G+dg}\)。
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状态数 \(n^5\)，转移 \(O(6)\) 不过可能跑不满。但这显然无法接受...考虑用
bitset压一下，于是大约 \(10^9\) 的复杂度，还是无法接受啊？ -
注意到一个显然的事情，如果 \((x,y)\) 中某一维的绝对值大于还能走的步数，该状态无意义。毕竟走不回来。虽然如此，状态还是挺密集的，分层图 bfs 大概是负优化。
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铛铛！有一个重要结论：随机游走 \(n\) 步恰回到起点的坐标绝对值期望为 \(\sqrt{n}\)。可以证但我不会，原命题是一维数轴或二维平面情况，但显然推广到这里也是对的。
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考虑随机重排所有决策，显然，决策的顺序对结果没有影响。从而接下来就是一个接近随机游走的情况啦！
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可以把 \(dp\) 的第二，三维都开到 \(2\sqrt{n}\) 多一点就好。于是复杂度肯定是 \(O(\text{能过})\)，额...大概 \(4\times10^7\)？
平面最近点对（系列）
- 见随机排序。
