强化反复

概述

• 强化反复是一种随机化思想。

• 具体来讲，有时题目中的限制过于复杂，无法处理或处理的复杂度不可接受。

• 此时可以考虑通过随机化地加强限制获得一个较可做的条件，然后多次反复，只要有一次恰好是答案就算成功。

• 注意，这种“加强限制”指的是将原限制简化规约到某个较强的限制上，必须保证对于所有弱限制下的可能解，都有随机化范围内占比足够大的强限制能构造出它，而非卡掉了。

例题

佛怒火莲

• 题意：

  • 给定 \(n\) 个物品，每个物品有 \(v,c\) 两个参数。

  • 要求从中选出任意个，使得选出的物品集中至少有 \(k\) 种不同的 \(c\)。

  • 对于一个选了 \(m\) 个物品的方案，它的权重是将选出的物品按 \(v\) 升序排序后的 \(\min_{i=1}^{m-1}(v_{i+1}-v_i)\)。

  • 求最大可能权重。

• 数据范围：

  • \(T\leqslant 5,n\leqslant 10^4\)。

  • \(c_i\leqslant n,v_i\leqslant 10^6\) 。

  • \(k\leqslant 5\)。

  • \(3s\) 时限。

• 显然，同种颜色的物品最多取一个。于是想到状压，但状压 \(2^n\) 显然是自寻死路。

• 先考虑压得下的话怎么办。发现没法记录上一个选的 \(v\) 和目前的 \(ans\)。于是想到二分答案 check，将物品按照 \(v\) 排序，状态转移方程中判一下 \(v\) 的差够不够大即可。

• 即：

  • 状态设计：\(dp_{i,sta}\) 表示考虑了前 \(i\) 个物品，选了第 \(i\) 个物品，当前已选的物品颜色为 \(sta\)，是否可行。

  • 初始化：\(dp_{0,0}=1\)。

  • 状态转移方程：\(dp_{i,sta}=tp_{i-1,sta}|tp_{j,sta\oplus 2^{c_i}}(v_i-v_j\geqslant now)\)，其中 \(now\) 为二分的答案，\(tp\) 为 \(dp\) 的前缀或（也可认为是不要求必选 \(i\) 的伴生 DP 状态），理由显然。

• 然而这个 \(sta\to 2^n\)。注意到 \(k=5\)。如果 \(sta=2^5\) 该多好啊。

• 考虑染色！构建一个 \(f(c)=c'\) 的满射，\(c'\in[1,5]\)。如果最优解所需的五个物品恰好被染为了不同的颜色，则我们能 DP 出最优解。

• 则染对色的概率为 \(\dfrac{5!}{5^5}=0.0384\)。设法多染几次就好了。

• 原题后来的实现是把第二维 \(sta\) 压进 bitset 或 int 的每一位，从而复杂度为 \(O(T\times times\times n\log \frac{v}{4})\)，\(times\) 为随机染色次数，可以看到 \(times\approx 333\)，从而正确率 \(\geqslant 99.99\%\)。

CF1310D Tourism

• 题意：\(n\) 点 \(m\) 边有边权有向图，无自环重边，求一个含 \(1\) 的恰有 \(K\) 条边的最小环，且环上不存在任意奇环。

• 数据范围：\(n\leqslant 80,K\leqslant 10,3s\) 时限。

• 不存在奇环很难整的。我会染色！

• 将原图随机赋黑白色。不妨钦定 \(1\) 为白色，则还有至多 \(k-1\) 个点，染对色的概率为 \(\dfrac{1}{2^{k-1}}\)。染完之后直接跑 Bellman-Ford，只许走交替颜色，复杂度 \(O(n^2\times k)\)，正确率 \(99.98\%\)。

HDU6664

• 题意：给定一张 \(n\) 点 \(m\) 边带边权无向图，求包括 \(k\) 个点的最长（简单）路径长度。路径起点任选。

• 数据范围：

  • \(T\leqslant 35\)。

  • \(n,m\leqslant 10^4\)。

  • \(2 \leqslant k\leqslant 6\)。

  • \(\max(n,m)\geqslant 100\) 的测试点不超过 \(5\) 个。

• 我会染色...考虑染六色，然后规定从 \(1\) 出发走到 \(6\)，跑全源最长路跑六步？额好像不用，每条边肯定对应一种颜色转换，\(O(m)\) 就可以。

• \(O(T\times times\times m)\)。单轮正确率下界为 \(\dfrac{1}{6^6}\)。

• 不行，有点低，全放 \(m=100\)，\(times=6^6\) 就要 \(1.6\times 10^8\) 了，此时还有 \(35\%\) 的错误率。

• 换个思路跑状压：

  • 状态设计：\(dp_{i,sta}\) 表示当前在 \(i\)，已经有 \(sta\) 的颜色的最大路径长度。嗯显然可以分层转移（加一个走了几步），空间开销打一点但是常数小一点。

  • 初始化：\(dp_{i,2^{c_i}}=0\)。

  • 递推转移：\(dp_{i,sta}\to dp_{j,sta|2^{c_j}}(sta\And 2^{c_j}=0)\)，转移系数为 \(e_{i,j}\)。

• 正确率上升到 \(\dfrac{6!}{6^6}\)，单轮复杂度上升到 \(O(n\times k\times sta)\)。算下来 \(times=74\)，仍有 \(31\%\) 的错误率...不可做吗？

• 错了，没有那个 \(k\) 的复杂度！没有外层枚举 \(k\) 的必要，直接从小往大枚举 \(sta\)，一定没有后效性，不信可以连边 toposort 试试。于是复杂度实际上是 \(O(m\times sta)\)。

• 于是将小数据转化成大数据，估算得 \(times=20\)，寄了啊。

• 啊其实这个时候我们可以考虑调大 \(times\)。上面那个 DP 的复杂度分析是溢出的，实践中 \(times\) 每 \(+100\)，错误率降低一个数量级。

• 为什么调大不会 T？本题 \(15s\) 时限。（来人，把这个不看题的给我叉出去！）