分治优化
概述
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分治优化常常在 dp 的转移有某种单向单调性时使用，通过类似整体二分的结构，确保每个决策点只在一条链上出现，从而加速转移。一般这种分治优化也有对应的二分栈形式，区别仅在于逆推和顺推。此部分在四边形不等式优化一节。
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分治优化本身还是一种非常有趣的 dp 实现方式。这一部分...我还不是非常了解，也是本节的重点。但似乎...这就是线段树分治？（如果确实，考虑将这边合并过去，毕竟这种分值处理的可不仅仅是 dp）。
例题
CF1442D Sum
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题意略。下面的复杂度分析里，因为 \(n,K\) 同阶，用 \(n\) 代替 \(K\)。
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发现这个就是把我们广义多重背包的物品反了过来，更短的转移反而“性价比”更高。考虑利用四边形不等式。
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那么起式子，\(dp_{i,j}=\max_{k\leqslant j}(dp_{i-1,k}+v_{i,j-k})\)。这里不写那种四边形形式了，容易看出，交叉小于包含。
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当然 dp 的转移来源还是要推一下，盲猜有 \(k_{j-1}\geqslant k_j\)，理由是取 \(l<l'\leqslant r<r'\)，假设有 \(k_r=l,k_{r'}=l'\)，推一下试试：
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\(dp_{i-1,l}+v_{r-l}+dp_{i-1,l'}+v_{r'-l'}\geqslant dp_{i-1,l}+v_{r'-l}+dp_{i-1,l'}+v_{r-l'}\)。
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左右消一下，得到 \(v_{r-l}+v_{r'-l'}\geqslant v_{r'-l}+v_{r-l'}\)，显然和交叉小于包含矛盾了。
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那完事了，\(O(n^2\log)\)？等等，我怎么觉得这个结论很反直觉？
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令 \(j-1=0\)，则 \(k_{j-1}=0\)，从而...从而......\(k=0\)。显然不可能啊摔！
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好吧，我们再仔细看看式子：上面的推导只能说明 \(dp_{i-1,l}+v_{r-l}+dp_{i-1,l'}+v_{r'-l'}\leqslant dp_{i-1,l}+v_{r'-l}+dp_{i-1,l'}+v_{r-l'}\)，然而这一式子不能推出 \(k_{j-1}\geqslant k_j\)，其只是 \(k_{j-1}\geqslant k_j\) 的必要条件。
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...好吧。我们回到一开始的性价比，有一个直觉是这样的：只会有一组不选完，毕竟越选越划算，如果靠后的没选完的那一组更划算，则应该都选那组，否则都选这组。
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形式化地说，设有两组物品 \(A,B\) 都没选完，不妨认为分别选了 \(k_A,k_B\) 个，则：
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若 \(A_{k_A+1}\geqslant B_{k_B}\)：放弃取 \(B\)，尽量取 \(A\)，显然不更劣。
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若 \(A_{k_A+1}<B_{k_B}\)：这代表着 \(A_{k_A}<B_{k_B}\)，于是放弃取 \(A\)，尽量取 \(B\)，显然更优。
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OK！那么这样一来，除了我们钦定的那一组之外，都变成 \(01\) 背包了，要么不选要么选完。然而...暴力枚举哪一组不选完？组内的 dp 容易预处理，毕竟就是前缀和；然而即使我处理好前后缀 dp，这一部分的复杂度是 \(O(n^2)\)，把三个背包暴力合到一起...虽然合两个其实就够了（第二次不用合，因为只关心 \(dp_K\)），但 \(O(n^2)\) 做 \(n\) 遍，还是暴力复杂度啊。
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解法 1：分块。
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分 \(B\) 个块，暴力枚举不选完的在哪个块里，合并前后缀 DP 或直接暴力 DP 一遍，反正都是 \(O(n^2)\)。
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在块内暴力枚举哪个没选完，将其他的物品暴力转到刚才的背包里，\(O(\frac{n}{B}(\frac{n}{B}n))\)。
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暴力枚举没选完的选了几个，计算对应情况下选 \(K\) 个的最大总价值，\(O(n)\)。
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故总复杂度为 \(O(B(n^2+\frac{n}{B}(\frac{n^2}{B}+n)))=O(Bn^2+\frac{n^3}{B})=O(n^2(B+\frac{n}{B}))\)，取 \(B=\sqrt{n}\)，复杂度为 \(O(n^2\sqrt{n})\)。
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够过了，虽然纸面 \(5\times 10^8\)，但背包常数小。
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解法 2：分治。
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考虑用二分树。怎么到处都是二分树！也许该叫分治树？
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令初始区间为 \([1,n]\)，先考虑 \(key\leqslant mid\) 的情况，\(key\) 为不选完的一组，此时将 \([mid+1,r]\) 的物品转进背包得到左子区间的背包，回溯时再考虑 \(key>mid\)，将 \([l,mid]\) 转进背包。
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即我们维护的背包其实是“除了当前区间外的全局背包”。可以看出，同时只需要维护一条链上的 \(\log\) 个背包（转移完毕的就好），每一层都将所有物品转移一次，空间回收的复杂度因为分治树只有 \(O(n)\) 个点所以是 \(O(n^2)\)，故总复杂度 \(O(n^2\log)\)。
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妙哉！
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P4095 [HEOI2013] Eden 的新背包问题
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题意略。
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显然可以和上一题一样建分治树，\(O(nV\log)\) 地解决。我就不写了吧（以前写了个前后缀合并的假做法，时间是假的）...毕竟单调队列优化多重背包码量还是不小的。
