二分
概述
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二分法是解决如下最优化问题的利器：
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解具有某种意义上的单调性。例如，取值单调，或可行性单调（即可行/不可行的分别是问题边界开始的连续一段）。
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解不容易直接求出，但判定一个解是否合法较为容易。
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此时则可以二分：维护最优区间，每次判定其中点是否合法，若是则舍弃左区间，否则舍弃右区间（这里我们认为右区间更优）。
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二分和倍增在某种意义上互为逆。事实上，二分的一种实现就基于倍增，因为任何一个答案都可以做二进制拆分（我认为二分和倍增在某种程度上依赖着二进制的最优性...不是很好表述，因为没想清楚）。
分数规划
- 分数规划是求分式极值的二分方法，有时也指求分式极值的问题类。具体地，给出如下分式，求其极值：
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其中 \(y=0/1\)，是自选的。自然语言表述为：每种物品有两个权值 \(v\) 和 \(w\)，选出若干个物品使得 \(\frac{\sum v}{\sum w}\) 最小/最大。
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不妨二分之。考虑化式子，对于 \(mid\)，有
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当然可能有非 \(01\) 的分数规划...注意到其类似多重背包，至少可以二进制拆分。
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实际问题中，一般会有 \(\sum\limits_{i=1}^n y_i\times w_i\geqslant K\) 的限制。在合法性检验中捎带一下就好了。
P4377 [USACO18OPEN] Talent Show G
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题意略。
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板题，按上面的来就行。check 是一个背包，因为要背够 \(\sum\limits_{i=1}^n y_i\times w_i\)...这么一说，如果是背包 check，显然可以单调队列优化多重。
P4322 [JSOI2016] 最佳团体
- 题意略。就是把上一题的线性 DP 推广到了树形。
P3705 [SDOI2017] 新生舞会
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题意略。是一个二分图最大权匹配的 check...当然我这里用了 SSP。
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以及，这道题比较卡常（也许是卡 SPFA？），需要调一调参才能确保时间和精度都 OK。
P1642 规划
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题意略。
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注意这是一个比较特殊的树形背包；时间很宽裕，直接枚举根做暴力 DP。
整体二分
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整体二分是解决如下问题的利器：
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多组询问，可带修，询问可二分。
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修改互相独立。
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修改不能影响合法性的判定标准。
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允许使用离线算法。
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核心思路：迫使每个操作只出现在二分树中的一条链上。
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具体来说，将原有的信息也视作修改，进行值域二分（二分答案）。
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利用值域二分将手上的修改操作变成 \(01\) 操作，按时序操作之，于是容易判定各询问在值域上是否更大。
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将答案 \(\leqslant mid\) 的扔到左边，反之亦然，操作根据其对值域上何处贡献也同理。显然这构成一棵二分树。
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对其做后序遍历，先递归左儿子，于是处理任意区间时，当前生效的修改恰为到其的前缀。注意要撤销修改。
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P3834 【模板】可持久化线段树 2
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题意：求静态区间第 \(k\) 小。
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二分答案（二分值域），每次将 \(\leqslant mid\) 的点 \(ins\) 到其下标上，用树状数组维护容易求出区间 \(\leqslant mid\) 的数的个数。
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足够则询问向左走，否则询问向右走并减去这些数的量。双 \(\log\)，常数较小。
P2617 Dynamic Rankings
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题意：求动态区间第 \(k\) 小。
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整体二分完全体的板子。我们借着这道题稍微细讲一下吧：
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一般的整体二分中，我们二分出当前值域中点 \(mid\) 之后，遍历所有操作，看情况执行（按 \([\leqslant mid]\) 决定权值，也可以说），然后扫所有询问。
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这其实是隐含着时间关系的：先操作，后询问。那么...当操作与询问有序的时候，自然也可以按这个序来扫。
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另外应当指出的是，一开始操作是有序的，所以扫完之后还是有序的，没必要排序；只是右区间的操作序列反过来了，故考虑打翻转标记或者对称交换一下。
P3527 [POI2011] MET-Meteors
- 题意略。记得用树状数组+差分实现区间加就好，因为线段树比较卡常。
P1527 [国家集训队] 矩阵乘法
- 题意略。二维树状数组实现一下就好。
