复杂度分析
朴素分析
- 直接暴力统计计算次数。
摊还分析
聚合分析
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核心思想：算出总复杂度然后均摊。
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例：
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1.“栈”：维护一个栈，支持栈顶插入和一次弹出所有元素。
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显然 \(n\) 次操作至多 \(n\) 个点插入，从而最多有 \(n\) 个点弹出。
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总复杂度 \(O(2n)\)，均摊复杂度 \(O(2)\)。
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2.\(vector\) 的复杂度分析（仅考虑队尾插入和申请空间的操作）。
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按一般的算法，队尾插入 \(O(1)\)，申请空间 \(O(size)\)。
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显然至多申请 \(2^{\lceil log_2\ n\rceil}\)的空间，可以向上取到 \(O(2n)\)。然后插入 \(O(n)\)，均摊复杂度 \(O(3)\)。
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核算法
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核心思想：在复杂度较低的操作上“预支”复杂度以防止负债。
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注意，低复杂度操作的复杂度并没有真的升高，这种变换只是为了方便统计复杂度。
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例：
- 1.\(vector\) 的复杂度分析（仅考虑队尾插入和申请空间的操作）。
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按一般的算法，队尾插入 \(O(1)\)，申请空间 \(O(size)\)。
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我们考虑把队尾插入的复杂度上升到 \(O(3)\)。
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从而上次开出的新点（恰为 \(\dfrac{size}{2}\) 个）每个都有 \(2\) 冗余复杂度。均摊到 \(size\) 个点，冗余为 \(1\)，恰好够申请新一倍的空间。
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即，总复杂度 \(O(3n)\)，均摊复杂度 \(O(3)\)。
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有趣的是，通过聚合分析算出的复杂度是往往达不到的，而核算法算出的复杂度是高度近似的（这里仅从计算原理来讲）。
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然而如果我们把 \(n\) 取成 \(2\) 的整数次方的话，聚合分析可以得到 \(O(2)\),核算法仍然是 \(O(3)\)（最后存的很大一部分复杂度没有用到）。
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这就启示我们，所有摊还分析本质上都是近似复杂度分析，并且常常向上取来保证不炸，从而精度未必非常良好。想要取得尽量精确的复杂度，需要选用正确的摊还方法。
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- 1.\(vector\) 的复杂度分析（仅考虑队尾插入和申请空间的操作）。
势能分析
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核心思想：
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1.记当前状态为 \(D\)，初始状态（通常为空）为 \(D_0\)。
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2.定义势函数 \(\phi(D)\)，使得总有 \(\phi(D)\geqslant \phi(D_0)\)。
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3.记每种操作的实际代价为 \(c\)，定义其摊还代价为 \(c'=c+\phi(now)-\phi(pre)\)。从而有 \(\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n c'}{n}\) 给出了一种近似（一般略大于实际）的均摊复杂度。
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例：
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1.\(KMP\) 的复杂度分析。参见“字符串”。
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2.\(splay\) 的复杂度分析。
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主定理
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其实不一定应该放在这里...
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主定理给出了一种求解递归算法或分治算法的时间复杂度的方法。其具体形式如下：
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定义 \(T(n)\) 为规模为 \(n\) 的问题在递归算法下的复杂度，且有 \(T(n)=aT(\dfrac{n}{b})+f(n)\)，其中 \(f(n)\) 为规模为 \(n\) 的问题在分治后的合并复杂度。
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设 \(f(n)=O(n^c),c'=\log_ba\)。则我们有：
\[T(n)=\begin{cases}f(n)=O(n^c),c>c'\\f(n)\times\log_bn=O(n^c\times\log_bn),c=c'\\ O(n^{c'}),c<c'\end{cases} \] -
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可以简单地这么记忆：两个元素，合并复杂度与 \(n^{\log_b a}\)；有主导看主导，没主导带个 \(\log_b a\)。
