吉老师线段树

概述

• 吉老师线段树，较正式的名称为 segbeats，是由吉如一发明/整理的使用线段树维护区间最值操作和区间历史问题的方法。

• 本文绝大部分内容都是抄的论文。

区间最值操作

实现原理

• 即 $\mathrm{\forall }i\in [l,r],a_i=min/max(a_i,v)$。

• 我们以 $chkmin$ 操作为例，$chkmax$ 操作对称处理即可。

• 考察朴素线段树的区间修改，其依赖于两点：

  1. 区间整体价值的可快速计算性。

  2. 懒标记的可合并性。

• 显然 $chkmin$ 操作满足第二条，但不满足第一条，朴素的区间修改方式并不能达到效果（赋值操作乍一看也不满足第一条，但事实上可以暴力重构区间整体价值，而非贡献法）。

• 我们转而考虑进行值域分段，将 $chkmin$ 操作转化为减操作。具体来讲，我们在线段树节点上维护最大值 $mx$，严格次大值 $se$ 和最大值个数 $cntmx$。当然，$sum$ 等常规信息也是要维护的。

• 记当前我们要对 $[L,R]$ 做 $chkmin(v)$。首先我们如普通线段树的区间修改操作一般进行区间下放，过程中如果 $mx⩽v$ 则直接返回，否则完成下放过程。

• 对每个到达区间，我们分类讨论：

  1. $mx⩽v$。事实上这种情况在刚才就返回了。

  2. $se<v<mx$。显然本次修改只会影响到最大值，我们令 $sum=sum-(mx-v)\times cn{t}_{mx}$，然后 $mx=v$，并打上 $lz=v$ 的标记，其他信息不变，显然这是对的。

  3. 当 $v⩽se$ 时，无法直接更新此节点的信息，进一步递归。

  4. $v<mx$，且 $se$ 不存在。相当于第二种情况。

• 接下来对这一方式做以复杂度分析。不妨先分析纯最值操作下的复杂度，即只有 $chkmin$ 一种修改操作。

• 首先我们对这种维护方式做以一定的转化。

• 定义 $ta{g}_x$ 为线段树节点 $x$ 的最大值即 $m{x}_x$。然后若 $ta{g}_x=ta{g}_{f{a}_x}$，删去 $x$ 处的标记，注意这一过程是自底向上的。

• 则现在标记有如下几个性质：

  1. 一条祖孙链上的标记互不相同。不妨假设 $u$ 为 $v$ 的祖先，若它们的标记相同，由性质 3 的 $⩾$ 部分（此部分的证明不依赖本条性质）可以推出删标记前 $u\to v$ 路径上的标记全部相同，于是应当 $v$ 被擦掉。

  2. 至多只有 $n$ 个。不妨认为 $x$ 处有标记，记其来源为 $y$，则 $x\to y$ 的链上除 $x$ 之外的点都不应有标记，又最后一层只有 $n$ 个点，所以至多只有 $n$ 个标记。

  3. $\mathrm{\forall }y\in su{b}_x,ta{g}_x>ta{g}_y$。显然，否则 $x$ 子树内的最大值不小于 $ta{g}_y$。于是 $ta{g}_x⩾ta{g}_y$，又由性质 1，$ta{g}_x>ta{g}_y$。

  4. $a_i$ 的值相当于 $l{f}_i\to rt$ 上的第一个标记的值。显然当标记在 $l{f}_i$ 上时成立，从而当标记在 $f{a}_{l{f}_i}$ 上时，由 $l{f}_i$ 上没有标记，应有 $ta{g}_{f{a}_{l{f}_i}}=ta{g}_{l{f}_i}=a_i$，归纳可证本性质成立。

  5. $se$ 相当于除 $x$ 外，$x$ 子树内的 $tag$ 最大值。显然，其实可以由性质 3 推出。

• 于是，我们的操作可以认为是：

  1. 找到对应区间，如果 $mx⩽v$ 则返回，否则在对应节点打一个 $tag=v$。

  2. 维护性质。事实上，只要回收掉子树内 $⩾v$ 的标记，就等价于这一目的。这一问题比较复杂，我们详细谈谈：

  • 关于性质 2 的维护：性质 2 是归纳的，或者说归纳证明的性质 2 对我们更有利。先给性质 2 加一个“根上一定有 $tag$”。

  • 显然当 $n=1$ 时性质 2 成立，进一步考虑把左右子树拼起来加个 $fa$，显然 $ta{g}_{fa}=ta{g}_{ls}$ 和 $ta{g}_{fa}=ta{g}_{rs}$ 至少成立一个，于是两者至少擦一个，于是归纳得证。

  • 性质 2 可能不能在子树内维护完全，但可以在子树内维护到对子树成立。而返回时的 pushup 会保证对更大子树成立。

  • 充分性：

    1. 若改完后相同，则说明 $v⩽se$，于是递归，递归证明到 $n=1$，显然 $n=1$ 不可能有 $v⩽se$ 也即不相同，得证。

    2. 打了标记说明 $mx>v$，那么本来的标记是 $mx$，现在换了，得证。

    3. 若 $⩽$，则 $v⩽se$，递归到 $n=1$，同性质 1，得证。

    4. 只有原本 $a_i>v$ 的会受影响，同性质 2。

    5. 和性质 2 一样是子树归纳的，可以由其他性质推出，略。

  • 必要性：维护过程中，$tag<v$ 相关信息显然不变，从而等价于回收 $⩾v$ 的标记，且一定是删了或者换了更小的，否则还得维护，不满足性质 3。

• 然后我们定义标记类：

  1. 一次 $chkmin$ 产生的标记是同一类。

  2. 同一个标记下传产生的标记是同一类。

  3. 不满足前两个条件的标记属于不同类。

• 定义标记类 $\alpha$ 的权值为这一类标记连同线段树的根对应的虚树大小，记为 $\varphi (\alpha )$，定义势函数 $\mathrm{\Phi }(sta)=\sum _{\alpha }\varphi (\alpha )$。我们进行如下的势能分析：

  • 考虑区间下放和打 $tag$ 对势函数的影响。显然，到达点只有 $O(\log )$，增加 $O(\log )$ 个 $tag$，即势函数只增加 $O(\log )$。证明在朴素线段树的区间操作处已经做过了。

  • 考虑标记下推，显然只有 $\varphi (\alpha )$ 被增加了 $1$。

  • 考虑进一步递归对势函数的影响。由上面的证明，我们知道递归的所有到达点 $x$ 都满足 $ta{g}_x⩾v$，从而访问到的所有点都 $ta{g}_x⩾v$（由性质 2）...这一步有问题。

  • 但至少我们可以证明，进一步递归每至多跑满一条链即花费至多 $O(\log )$ 的代价，就让势函数 $-1$。这对应着一个 $O(n{\log }^2)$ 的宽松上界。

  • 事实上可以证明进一步递归中每访问一个点就让势函数 $-1$，于是摊还复杂度为 $O(n\log )$。

• 综上，修改操作中势函数的总变化量为 $O(n\log )$，初始时的势函数至多为 $O(n)$，因为 $k$ 个点的虚树只有至多 $2k-1$ 个点（证明见虚树），进一步递归之前的总复杂度也为 $O(n\log )$，故总复杂度为 $O(n\log )$，单次操作均摊 $O(\log )$。

• 考虑推广到复杂环境，即允许大部分常规操作和最值操作。

• 首先谈谈怎么加减。我们需要一个分配律...我不太确定该怎么说，但我们能看到，$min(x,y)+z=min(x+z,y+z)$，所以大概是加法对最值操作有分配律。故规定总是把加法分配进去，先加后做最值操作，对已有的最值操作懒标记做修改。

• 显然标记类不再能沿用，因为区间加减会改变它（不谈区间赋值，区间赋值在标记类上甚至弱于 $chkmin$）。

• 但可以修定义：一次区间加减若碰到了某一类标记的一部分，则该类标记分裂为两类；否则该类标记不变。

• 我们把线段树的根从虚树里扔进去。我的意思是，不再额外加进来。

• ...蚌，证不下去，没有充分理解。就算硬凑完，也是 $O(n{\log }^3)$。倒是有一个 promising 的，论文中提到的另一个方向：定义势函数为标记深度和。

• 先放弃证明复杂度吧，背住板子就可以了。

HDU5036 Gorgeous Sequence

• 题意：区间取 $min$，区间求最大值，区间求和。

• 数据范围：$T⩽100,\sum n,\sum m⩽{10}^6$。

• 即最值操作板题。注意本题卡常（HDU 的机子太烂了），考虑使用 fread。另外 Vjudge 上的某些翻译不可信，值域下界应为 $0$ 而非 $1$。

WZOI 提高题库 239 Picks loves segment tree

• 看网址似乎总编号是 3050？不管。

• 题意：区间取 $min$，区间加，区间求和。

• 数据范围：$n,m⩽5\times {10}^5$。

• 即复杂环境下的最值操作板题。这可以作为一个 $\mathrm{\Omega }(\log )$ 的例证。

AcrossTheSky loves segment tree

• 不用找了，没地方交。不如去交下一道题。

• 题意：区间取 $min$，区间取 $max$，区间求和。

• 感性理解一下，这两种操作对对方的影响等价于区间加对对方的影响，因此我们还是有一个 $O({\log }^2)$。

• 直接复合两者的维护即可。注意区间中只有 $<4$ 种值时，最大/小值相关信息会重合，需要特别处理。

darkBZOJ #4695. 最假女选手

• 如果 darkBZOJ 也炸了，那么 hydro 的 BZOJ 域里的 #4695. 也是这道题。

• 题意：区间加，取 $min/max$，区间求和、最大、最小值。

• 数据范围：$n,m⩽5\times {10}^5$。

• 就是只涉及最值操作的常规题目的完全体吧。细节较多，我还没写。

Mzl loves segment tree

• 题意：区间取 $min$，区间取 $max$，区间加，区间查历史变动次数和。

• 这个...其实不算很“历史问题”。区间加是容易的，对取 $min/max$，利用维护的最大/最小值个数和区间长度，加加减减容易算出有多少个数字变了。

• 至于最值操作转化成的加减操作在下标上不连续的问题，不用管它。反正 pushdown 下去的时候都会解决，连不连续无所谓，在区间内就好了。

ChiTuShaoNian loves segment tree

• 题意：双序列，区间取 $min$，区间加，求双序列复合（这里是加）最大值。

• 关于位置分类，即同时为两个最大值/为某一个/都不为，实质目标是维护两者的和，对这四类下标分别进行修改和打标记。$se$ 当然还是要维护，说实话这信息太多了写起来一定很恶心。

• 事实上，我们是打了四个值作为道标，藉此判断 $chkmin$ 操作对四类下标分别的效果，四类下标（及其数量）是区间的根本信息，四个值某种意义上只是分界线或者路牌罢了。

• 显然可以分析到 $O(2^k{\log }^2)$，这里 $k$ 是序列数。

Dzy loves segment tree

• 题意：区间取 $min$，区间加，区间求 $gcd$。

• 一个很套路的办法是差分，然而区间取 $min$...啊懒了，等我下次翻论文的时候再说吧。

• 这道题就很明显地指出，segbeats 在维护和下标顺序相关的问题时比较无力（这里是逐项差分），因为转化成的加减操作的作用区间不连续。

区间历史最值

实现原理

• 不妨仍然以最小值为例。我们先讨论经典操作下的区间历史最值，然后再将它推广到最值操作上。

• 注意到历史最值和线段树的延迟修改结构在一定程度上是矛盾的。延迟修改可能导致值的峰被延迟过去了。

• 怎么办？引入历史最值相关的懒标记，即，历史懒标记。记录某个点的懒标记的历史最大值，在下传时将它下传，作用于对应的历史最值上。

• 在多操作时可能较为复杂，因为历史最值对于标记的性质有较为严格的要求...具体来说，正常标记下传（显然标记下传严格强于区间修改，我们将区间修改也视作一种标记下传）只需要下传标记作用于信息和下传标记作用于标记，但对于需要维护历史最值的情况，我们需要按如下次序进行下传：

  • 下传历史标记（与旧信息结合）作用于历史信息。

  • 下传历史标记（与旧标记结合）作用于历史标记。

  • 下传标记作用于信息，新信息作用于历史信息。

  • 下传标记作用于标记，新标记作用于历史标记。

• 合计六步。其中，历史的两步必须在前，当前的两步必须在后，但内部交换顺序无妨，理由在括号里。

• 事实上，似乎可以略去“新信息作用于历史信息”和“新标记作用于历史标记”，因为其严格不强于历史标记下传的效果。这里列出只是为了逻辑清晰。

• 另外，应当指出的是，这一下传在有多种标记时非常严格，多种标记的互相作用可能导致某些历史标记下传是根本不可做的。可以参看 $\text{UOJ\#164. [清华集训2015]V}$ 一题中我的假做法，较有启发性。

• 总体而言，并不提升复杂度，仍然为 $O(\log )$。

P4314 CPU 监控

• 题意：区间加，区间赋值，区间求最大值，区间求历史最大值。

• 数据范围：$n,m⩽{10}^5$。

• 直接做就好。注意到赋值操作比较特殊，这玩意具有类似一元的性质（啥跟他结合都是它...）。

• 考虑钦定先加后赋值，赋值后再来加相当于直接加到赋值标记上，记录历史最大加和历史最大赋值，有序下传即可。

• 先赋值后加...这在没有历史最值的时候肯定是可行的，用赋值标记把已有的加标记覆盖掉即可。但在考虑历史最值的时候...注意到加一段-赋值一下-加一段-赋值一下-加一段-赋值一下-...这样的操作并不好处理，因为有多个历史加（被赋值覆盖掉的，而且这里还必须先历史加后历史赋值），我觉得没法做，还是上面的那种比较好。

• 复杂度 $O({\log }^2)$？应该吧，毕竟赋值操作是可以分裂标记类的。

UOJ#164. 【清华集训2015】V

• 题意：区间加，区间减（至多减到 $0$），区间赋值，单点求最值和历史最值。

• 如果没有这个奇怪的减法限制，那么平凡，就是 CPU。但是有这个限制，这就导致我们的历史最大加标记会有各种奇怪的问题。

• 考虑把减法看成一种类似 $chkmin$ 的操作好了。维护最小值和次小值，分三段考虑，符合 segbeats 的不同类合并，可以 $O({\log }^2)$ 维护。

• 具体地，规定标记次序如下：

  • 将标记看成一种 $(mlz,plz,alz)$，即先 $chkmin$，然后加，然后赋值的东西...

  • 对于常规的 tag，$alz$ 出现代表着前面的寄掉。有 $plz$ 之后再来 $mlz$...把两者合并，若 $plz>=mlz$ 直接 $plz-=mlz$，否则合并。毕竟大家本质还是差不多的东西嘛。模仿 CPU，把 $alz$ 存在时的加减操作直接扔到 $alz$ 上。

  • 对于历史 tag 则比较复杂...显然历史 tag 不关心 $chkmin$ 到多少，维护历史最大加标记和历史最大赋值标记就好了。

• 但是，这一做法是错误的：考虑下传次序，我们显然应该先下传所有历史标记，再下传所有常规标记，次序都是 $m,p,a$。简单起见，先把 $a$ 抛掉，单独考虑 $m,p$ 两者，若我 $m-p-m$，则 $hp$ 应为 $p$ 的内容，但其显然不能简单下传，若尝试将 $m$（不是 $hm$，是 $m$，显然 $hm$ 无意义）先传下去，也是不可行的，因为后面的 $m$ 会破坏这一次序。

• 显然，一个可行的解决思路是，在计算 $hp$ 时考虑 $m$ 的影响。所有 $m$，都至多只对 $mn$ 起到修改为 $0$ 的效果。若区间 $se$ 存在，则显然 $hp$ 只要暴力作差就好了，否则本质上是整了个 $ha$ 出来。

• 显然这未免有些复杂了。事实上，这需要对 $m$ 到底有没有让 $mn$ 小于 $0$（因而被卡住）分讨，如果其起到这个效果那么其是 $m$，否则其是 $p$。注意随下传的进行，其可能会改变（不再是 $m$）。然后在计算 $hp$ 的时候应当对是否有 $se$ 分讨，有 $se$ 则为 $mx+p-m$，否则为 $p$，计算 $ha$ 时也要有类似的联立。

• ...我想我们已经从中榨出了足够多的对历史最值标记的理解。我们不再整这个明显过于复杂的东西了，注意到 $m$ 操作最终总是变成 $p$ 和 $a$，考虑如下转定义：$m(x)=(-x,0),p(x)=(x,0),a(x)=(-\mathrm{\infty },x)$，这里 $(a,b)$ 表示先区间加 $a$ 再区间与 $b$ 取最大值。

• 考虑这种标记怎么合并。显然，$(a,b)+(c,d)=(a+c,max(b+c,d))$。然而这东西...似乎完全没法处理成历史标记啊？

• 显然此标记本质上是一个分段函数，第一段为 $k=0$ 的横线，第二段为 $k=1$ 的分段函数。分段函数合并，是容易的，取最值就好咯，即任意时刻的标记全部合并起来得到的分段函数是我们的历史标记。形式都是统一的，显然可以维护，易证结合律，这里又不求和没必要维护 $se$ 搞 segbeats 那一套，完了，$O(\log )$。

• 也有相对简单一些（不需要分段函数合并）的方法。显然我们在最值操作一节谈到的方法，在本质上将最值操作转化为了加减操作，于是问题退化成 CPU 监控，但需要对最小值和非最小值分别维护一套标记和历史标记（注意，这并非我们闲得，而是因为两者的加标记并不相同，被迫为之）。

51Nod 1768 Rikka with Sequences

• 题意：对 $a$ 支持单点修，查询 $\sum _{i=l}^r{a}_i$ 的历史最小值。

• 数据范围：$n,m⩽{10}^5$。

• 不太传统，对吧？考虑先扔到二维平面上，单点修改变成一个左上矩形修改，即问题现在变成了矩形加，单点求历史最小值。

• 显然基于标记永久化（因而需要交换律）的线套线做不了这个。转而使用 KDT，$O(m\sqrt{n})$。

UOJ #169. 【UR #11】元旦老人与数列

• 题意：区间加，区间 $chkmax$，区间求最小值和历史最小值。

• 显然这还是可以套 V 那道题的复合标记，但这里的问题在于两个分段函数合并后的段数可能增加——炸了，乐。只能用 segbeats 转化成区间加，然后 $O({\log }^2)$ 维护。

P6242 【模板】线段树 3

• 题意：元旦老人与数列再加一个区间求和。

• 显然这就是 segbeats 本来的功能之一，简单处理即可。$O({\log }^2)$。

区间历史和

区间历史版本和

• 我们先讨论经典操作下的区间历史版本和，然后再将它推广到最值操作上。

• 记和数组为 $a$，区间历史版本和为 $b$，设法构造一个数组 $c$，使得我们可以通过 $a,c$ 快速计算 $b$，且 $c$ 本身的变化量不大。

• 不妨设 $c=b-t\times a$，这里 $t$ 为当前时间。显然，当 $a$ 不变时，$c$ 不变，且 $b=ta+c$，容易计算。

• 考虑 $a$ 被修改会如何。直接算出新的 $a$，然后用增量法调整之，显然只要在修改中记录当前的 $t$，这就是可行的。

• 具体来说，记 $a$ 变动的时间为 $t$，于是 $c=b-(t-1)a$，又 $a^{\prime }=a+x$，$b^{\prime }=b+a^{\prime }$，故 $c^{\prime }=b^{\prime }-t{a}^{\prime }=(t-1)a+c+a^{\prime }-t{a}^{\prime }=(t-1)a+c-(t-1)a^{\prime }=(t-1)(a-a^{\prime })+c$，即 $c^{\prime }=c-(t-1)x$，这里 $x$ 为区间变动量和（即 $a^{\prime }-a$）。这一区间修改是容易的（不要维护这个复杂的 tag，若区间修为给原数组加 $v$，则相当于给 $c$ 的“原数组”，即单点历史版本和加 $(1-t)v$，这个 tag 显然非常可合并）。

• 复杂度 $O(\log )$。唔...显然，只要套用 V 中提出的转化，我们就可以以多支付一个 $\log$ 为代价来支持最值操作。

P3246 [HNOI2016] 序列

• 参看双指针与扫描线-扫描线。事实上，历史版本和是扫描线处理矩形加矩形求和的经典实现方式之一。

P8868 [NOIP2022] 比赛

• 参看双指针与扫描线-扫描线。多序列，真（粗口）恶心。

区间历史最值和

• 即求历史最值数组的和。

• 唔...能不能推广历史版本和的方法？

• 仍然以历史最小值为例，记最小值数组为 $a$，历史最小值数组为 $b$，构造 $c_i=a_i-b_i$。显然 $a$ 不变时 $c$ 也不变，且 $b=a-c$，容易计算。

• 考虑 $a$ 变动，若 $a^{\prime }<b$ 则 $a^{\prime }=b^{\prime },c=0$，否则 $c^{\prime }=c+(a^{\prime }-a)$，这是显然的。本质上，$a^{\prime }<b$，方便起见取成 $a^{\prime }⩽b$ 好了，代表着 $a^{\prime }-a⩽b-a=-c$，即 $c+(a^{\prime }-a)⩽c+-c=0$，诶？

• 实质上就是对 $c$ 先加 $a^{\prime }-a$（就是修改量），然后和 $0$ 取 $max$。这一操作我们是熟悉的...由 V，如果其的询问是 $c$ 的 $max$，则我们有一个分段函数合并的 $O(\log )$ 做法，但显然此时我们构造的 $c$ 是用来求 $b$ 的区间和的...如果问的是 $b$ 的区间最值，反而做不了，因为 $a_{max}-c_{max}$ 不一定恰为 $max(a-c)$。

• 故还是多支付一个 $\log$ 转化成区间加减解决，由此我们有了一个 $O({\log }^2)$ 的做法。历史最大值也一样，只是 $chkmax$ 变成 $chkmin$ 罢了（当前减去历史最大值总应该是非正的）。

• 到这我们谈的都是简单加减。显然，对最值操作，也是可以的，只要拆成加减...诶？注意到我们先前之所以是 ${\log }^2$，是因为总体上发出了一个最值操作。这里我们在把对原数组的最值操作拆成加减操作之后，对 $c$ 数组的最值操作才发出，且可能是各不相同的（转化成的加减操作的变化量取决于原本的区间最值），故会发出 $O(\log )$ 个最值操作，由此可以看出 $k$ 层嵌套会导致 $k-1$ 次拆解和一次 ${\log }^2$，实际效果为 $O({\log }^{k+1})$，不过实际上我并不理解怎么继续嵌套（呃呃，题目里就定义一个 $c$，然后对 $c$ 求区间历史最值和？这是手动嵌套呀），且我不理解论文里的 $2^k$ 从何而来。

• 不过，到这里，我们的 segbeats 科技，可以说是点完了。剩下的，主要是在实践中运用和积累经验了。撒花？