吉老师线段树

概述

• 吉老师线段树，较正式的名称为 segbeats，是由吉如一发明/整理的使用线段树维护区间最值操作和区间历史问题的方法。

• 本文绝大部分内容都是抄的论文。

区间最值操作

实现原理

• 即 \(\forall i\in[l,r],a_i=\min/\max(a_i,v)\)。

• 我们以 \(chkmin\) 操作为例，\(chkmax\) 操作对称处理即可。

• 考察朴素线段树的区间修改，其依赖于两点：

  1. 区间整体价值的可快速计算性。

  2. 懒标记的可合并性。

• 显然 \(chkmin\) 操作满足第二条，但不满足第一条，朴素的区间修改方式并不能达到效果（赋值操作乍一看也不满足第一条，但事实上可以暴力重构区间整体价值，而非贡献法）。

• 我们转而考虑进行值域分段，将 \(chkmin\) 操作转化为减操作。具体来讲，我们在线段树节点上维护最大值 \(mx\)，严格次大值 \(se\) 和最大值个数 \(cntmx\)。当然，\(sum\) 等常规信息也是要维护的。

• 记当前我们要对 \([L,R]\) 做 \(chkmin(v)\)。首先我们如普通线段树的区间修改操作一般进行区间下放，过程中如果 \(mx\leqslant v\) 则直接返回，否则完成下放过程。

• 对每个到达区间，我们分类讨论：

  1. \(mx\leqslant v\)。事实上这种情况在刚才就返回了。

  2. \(se<v<mx\)。显然本次修改只会影响到最大值，我们令 \(sum=sum-(mx-v)\times cnt_{mx}\)，然后 \(mx=v\)，并打上 \(lz=v\) 的标记，其他信息不变，显然这是对的。

  3. 当 \(v\leqslant se\) 时，无法直接更新此节点的信息，进一步递归。

  4. \(v<mx\)，且 \(se\) 不存在。相当于第二种情况。

• 接下来对这一方式做以复杂度分析。不妨先分析纯最值操作下的复杂度，即只有 \(chkmin\) 一种修改操作。

• 首先我们对这种维护方式做以一定的转化。

• 定义 \(tag_x\) 为线段树节点 \(x\) 的最大值即 \(mx_x\)。然后若 \(tag_x=tag_{fa_x}\)，删去 \(x\) 处的标记，注意这一过程是自底向上的。

• 则现在标记有如下几个性质：

  1. 一条祖孙链上的标记互不相同。不妨假设 \(u\) 为 \(v\) 的祖先，若它们的标记相同，由性质 3 的 \(\geqslant\) 部分（此部分的证明不依赖本条性质）可以推出删标记前 \(u\to v\) 路径上的标记全部相同，于是应当 \(v\) 被擦掉。

  2. 至多只有 \(n\) 个。不妨认为 \(x\) 处有标记，记其来源为 \(y\)，则 \(x\to y\) 的链上除 \(x\) 之外的点都不应有标记，又最后一层只有 \(n\) 个点，所以至多只有 \(n\) 个标记。

  3. \(\forall y\in sub_x,tag_x>tag_y\)。显然，否则 \(x\) 子树内的最大值不小于 \(tag_y\)。于是 \(tag_x\geqslant tag_y\)，又由性质 1，\(tag_x>tag_y\)。

  4. \(a_i\) 的值相当于 \(lf_i\to rt\) 上的第一个标记的值。显然当标记在 \(lf_i\) 上时成立，从而当标记在 \(fa_{lf_i}\) 上时，由 \(lf_i\) 上没有标记，应有 \(tag_{fa_{lf_i}}=tag_{lf_i}=a_i\)，归纳可证本性质成立。

  5. \(se\) 相当于除 \(x\) 外，\(x\) 子树内的 \(tag\) 最大值。显然，其实可以由性质 3 推出。

• 于是，我们的操作可以认为是：

  1. 找到对应区间，如果 \(mx\leqslant v\) 则返回，否则在对应节点打一个 \(tag=v\)。

  2. 维护性质。事实上，只要回收掉子树内 \(\geqslant v\) 的标记，就等价于这一目的。这一问题比较复杂，我们详细谈谈：

  • 关于性质 2 的维护：性质 2 是归纳的，或者说归纳证明的性质 2 对我们更有利。先给性质 2 加一个“根上一定有 \(tag\)”。

  • 显然当 \(n=1\) 时性质 2 成立，进一步考虑把左右子树拼起来加个 \(fa\)，显然 \(tag_{fa}=tag_{ls}\) 和 \(tag_{fa}=tag_{rs}\) 至少成立一个，于是两者至少擦一个，于是归纳得证。

  • 性质 2 可能不能在子树内维护完全，但可以在子树内维护到对子树成立。而返回时的 pushup 会保证对更大子树成立。

  • 充分性：

    1. 若改完后相同，则说明 \(v\leqslant se\)，于是递归，递归证明到 \(n=1\)，显然 \(n=1\) 不可能有 \(v\leqslant se\) 也即不相同，得证。

    2. 打了标记说明 \(mx>v\)，那么本来的标记是 \(mx\)，现在换了，得证。

    3. 若 \(\leqslant\)，则 \(v\leqslant se\)，递归到 \(n=1\)，同性质 1，得证。

    4. 只有原本 \(a_i>v\) 的会受影响，同性质 2。

    5. 和性质 2 一样是子树归纳的，可以由其他性质推出，略。

  • 必要性：维护过程中，\(tag<v\) 相关信息显然不变，从而等价于回收 \(\geqslant v\) 的标记，且一定是删了或者换了更小的，否则还得维护，不满足性质 3。

• 然后我们定义标记类：

  1. 一次 \(chkmin\) 产生的标记是同一类。

  2. 同一个标记下传产生的标记是同一类。

  3. 不满足前两个条件的标记属于不同类。

• 定义标记类 \(\alpha\) 的权值为这一类标记连同线段树的根对应的虚树大小，记为 \(\phi(\alpha)\)，定义势函数 \(\Phi(sta)=\sum\limits_\alpha \phi(\alpha)\)。我们进行如下的势能分析：

  • 考虑区间下放和打 \(tag\) 对势函数的影响。显然，到达点只有 \(O(\log)\)，增加 \(O(\log)\) 个 \(tag\)，即势函数只增加 \(O(\log)\)。证明在朴素线段树的区间操作处已经做过了。

  • 考虑标记下推，显然只有 \(\phi(\alpha)\) 被增加了 \(1\)。

  • 考虑进一步递归对势函数的影响。由上面的证明，我们知道递归的所有到达点 \(x\) 都满足 \(tag_x\geqslant v\)，从而访问到的所有点都 \(tag_x\geqslant v\)（由性质 2）...这一步有问题。

  • 但至少我们可以证明，进一步递归每至多跑满一条链即花费至多 \(O(\log)\) 的代价，就让势函数 \(-1\)。这对应着一个 \(O(n\log^2)\) 的宽松上界。

  • 事实上可以证明进一步递归中每访问一个点就让势函数 \(-1\)，于是摊还复杂度为 \(O(n\log)\)。

• 综上，修改操作中势函数的总变化量为 \(O(n\log)\)，初始时的势函数至多为 \(O(n)\)，因为 \(k\) 个点的虚树只有至多 \(2k-1\) 个点（证明见虚树），进一步递归之前的总复杂度也为 \(O(n\log)\)，故总复杂度为 \(O(n\log)\)，单次操作均摊 \(O(\log)\)。

• 考虑推广到复杂环境，即允许大部分常规操作和最值操作。

• 首先谈谈怎么加减。我们需要一个分配律...我不太确定该怎么说，但我们能看到，\(\min(x,y)+z=\min(x+z,y+z)\)，所以大概是加法对最值操作有分配律。故规定总是把加法分配进去，先加后做最值操作，对已有的最值操作懒标记做修改。

• 显然标记类不再能沿用，因为区间加减会改变它（不谈区间赋值，区间赋值在标记类上甚至弱于 \(chkmin\)）。

• 但可以修定义：一次区间加减若碰到了某一类标记的一部分，则该类标记分裂为两类；否则该类标记不变。

• 我们把线段树的根从虚树里扔进去。我的意思是，不再额外加进来。

• ...蚌，证不下去，没有充分理解。就算硬凑完，也是 \(O(n\log^3)\)。倒是有一个 promising 的，论文中提到的另一个方向：定义势函数为标记深度和。

• 先放弃证明复杂度吧，背住板子就可以了。

HDU5036 Gorgeous Sequence

• 题意：区间取 \(\min\)，区间求最大值，区间求和。

• 数据范围：\(T\leqslant 100,\sum n,\sum m\leqslant 10^6\)。

• 即最值操作板题。注意本题卡常（HDU 的机子太烂了），考虑使用 fread。另外 Vjudge 上的某些翻译不可信，值域下界应为 \(0\) 而非 \(1\)。

WZOI 提高题库 239 Picks loves segment tree

• 看网址似乎总编号是 3050？不管。

• 题意：区间取 \(\min\)，区间加，区间求和。

• 数据范围：\(n,m\leqslant 5\times 10^5\)。

• 即复杂环境下的最值操作板题。这可以作为一个 \(\Omega(\log)\) 的例证。

AcrossTheSky loves segment tree

• 不用找了，没地方交。不如去交下一道题。

• 题意：区间取 \(\min\)，区间取 \(\max\)，区间求和。

• 感性理解一下，这两种操作对对方的影响等价于区间加对对方的影响，因此我们还是有一个 \(O(\log^2)\)。

• 直接复合两者的维护即可。注意区间中只有 \(<4\) 种值时，最大/小值相关信息会重合，需要特别处理。

darkBZOJ #4695. 最假女选手

• 如果 darkBZOJ 也炸了，那么 hydro 的 BZOJ 域里的 #4695. 也是这道题。

• 题意：区间加，取 \(\min/\max\)，区间求和、最大、最小值。

• 数据范围：\(n,m\leqslant 5\times 10^5\)。

• 就是只涉及最值操作的常规题目的完全体吧。细节较多，我还没写。

Mzl loves segment tree

• 题意：区间取 \(\min\)，区间取 \(\max\)，区间加，区间查历史变动次数和。

• 这个...其实不算很“历史问题”。区间加是容易的，对取 \(\min/\max\)，利用维护的最大/最小值个数和区间长度，加加减减容易算出有多少个数字变了。

• 至于最值操作转化成的加减操作在下标上不连续的问题，不用管它。反正 pushdown 下去的时候都会解决，连不连续无所谓，在区间内就好了。

ChiTuShaoNian loves segment tree

• 题意：双序列，区间取 \(\min\)，区间加，求双序列复合（这里是加）最大值。

• 关于位置分类，即同时为两个最大值/为某一个/都不为，实质目标是维护两者的和，对这四类下标分别进行修改和打标记。\(se\) 当然还是要维护，说实话这信息太多了写起来一定很恶心。

• 事实上，我们是打了四个值作为道标，藉此判断 \(chkmin\) 操作对四类下标分别的效果，四类下标（及其数量）是区间的根本信息，四个值某种意义上只是分界线或者路牌罢了。

• 显然可以分析到 \(O(2^k\log^2)\)，这里 \(k\) 是序列数。

Dzy loves segment tree

• 题意：区间取 \(\min\)，区间加，区间求 \(\gcd\)。

• 一个很套路的办法是差分，然而区间取 \(\min\)...啊懒了，等我下次翻论文的时候再说吧。

• 这道题就很明显地指出，segbeats 在维护和下标顺序相关的问题时比较无力（这里是逐项差分），因为转化成的加减操作的作用区间不连续。

区间历史最值

实现原理

• 不妨仍然以最小值为例。我们先讨论经典操作下的区间历史最值，然后再将它推广到最值操作上。

• 注意到历史最值和线段树的延迟修改结构在一定程度上是矛盾的。延迟修改可能导致值的峰被延迟过去了。

• 怎么办？引入历史最值相关的懒标记，即，历史懒标记。记录某个点的懒标记的历史最大值，在下传时将它下传，作用于对应的历史最值上。

• 在多操作时可能较为复杂，因为历史最值对于标记的性质有较为严格的要求...具体来说，正常标记下传（显然标记下传严格强于区间修改，我们将区间修改也视作一种标记下传）只需要下传标记作用于信息和下传标记作用于标记，但对于需要维护历史最值的情况，我们需要按如下次序进行下传：

  • 下传历史标记（与旧信息结合）作用于历史信息。

  • 下传历史标记（与旧标记结合）作用于历史标记。

  • 下传标记作用于信息，新信息作用于历史信息。

  • 下传标记作用于标记，新标记作用于历史标记。

• 合计六步。其中，历史的两步必须在前，当前的两步必须在后，但内部交换顺序无妨，理由在括号里。

• 事实上，似乎可以略去“新信息作用于历史信息”和“新标记作用于历史标记”，因为其严格不强于历史标记下传的效果。这里列出只是为了逻辑清晰。

• 另外，应当指出的是，这一下传在有多种标记时非常严格，多种标记的互相作用可能导致某些历史标记下传是根本不可做的。可以参看 \(\text{UOJ#164. [清华集训2015]V}\) 一题中我的假做法，较有启发性。

• 总体而言，并不提升复杂度，仍然为 \(O(\log)\)。

P4314 CPU 监控

• 题意：区间加，区间赋值，区间求最大值，区间求历史最大值。

• 数据范围：\(n,m\leqslant 10^5\)。

• 直接做就好。注意到赋值操作比较特殊，这玩意具有类似一元的性质（啥跟他结合都是它...）。

• 考虑钦定先加后赋值，赋值后再来加相当于直接加到赋值标记上，记录历史最大加和历史最大赋值，有序下传即可。

• 先赋值后加...这在没有历史最值的时候肯定是可行的，用赋值标记把已有的加标记覆盖掉即可。但在考虑历史最值的时候...注意到加一段-赋值一下-加一段-赋值一下-加一段-赋值一下-...这样的操作并不好处理，因为有多个历史加（被赋值覆盖掉的，而且这里还必须先历史加后历史赋值），我觉得没法做，还是上面的那种比较好。

• 复杂度 \(O(\log^2)\)？应该吧，毕竟赋值操作是可以分裂标记类的。

UOJ#164. 【清华集训2015】V

• 题意：区间加，区间减（至多减到 \(0\)），区间赋值，单点求最值和历史最值。

• 如果没有这个奇怪的减法限制，那么平凡，就是 CPU。但是有这个限制，这就导致我们的历史最大加标记会有各种奇怪的问题。

• 考虑把减法看成一种类似 \(chkmin\) 的操作好了。维护最小值和次小值，分三段考虑，符合 segbeats 的不同类合并，可以 \(O(\log^2)\) 维护。

• 具体地，规定标记次序如下：

  • 将标记看成一种 \((mlz,plz,alz)\)，即先 \(chkmin\)，然后加，然后赋值的东西...

  • 对于常规的 tag，\(alz\) 出现代表着前面的寄掉。有 \(plz\) 之后再来 \(mlz\)...把两者合并，若 \(plz>=mlz\) 直接 \(plz-=mlz\)，否则合并。毕竟大家本质还是差不多的东西嘛。模仿 CPU，把 \(alz\) 存在时的加减操作直接扔到 \(alz\) 上。

  • 对于历史 tag 则比较复杂...显然历史 tag 不关心 \(chkmin\) 到多少，维护历史最大加标记和历史最大赋值标记就好了。

• 但是，这一做法是错误的：考虑下传次序，我们显然应该先下传所有历史标记，再下传所有常规标记，次序都是 \(m,p,a\)。简单起见，先把 \(a\) 抛掉，单独考虑 \(m,p\) 两者，若我 \(m-p-m\)，则 \(hp\) 应为 \(p\) 的内容，但其显然不能简单下传，若尝试将 \(m\)（不是 \(hm\)，是 \(m\)，显然 \(hm\) 无意义）先传下去，也是不可行的，因为后面的 \(m\) 会破坏这一次序。

• 显然，一个可行的解决思路是，在计算 \(hp\) 时考虑 \(m\) 的影响。所有 \(m\)，都至多只对 \(mn\) 起到修改为 \(0\) 的效果。若区间 \(se\) 存在，则显然 \(hp\) 只要暴力作差就好了，否则本质上是整了个 \(ha\) 出来。

• 显然这未免有些复杂了。事实上，这需要对 \(m\) 到底有没有让 \(mn\) 小于 \(0\)（因而被卡住）分讨，如果其起到这个效果那么其是 \(m\)，否则其是 \(p\)。注意随下传的进行，其可能会改变（不再是 \(m\)）。然后在计算 \(hp\) 的时候应当对是否有 \(se\) 分讨，有 \(se\) 则为 \(mx+p-m\)，否则为 \(p\)，计算 \(ha\) 时也要有类似的联立。

• ...我想我们已经从中榨出了足够多的对历史最值标记的理解。我们不再整这个明显过于复杂的东西了，注意到 \(m\) 操作最终总是变成 \(p\) 和 \(a\)，考虑如下转定义：\(m(x)=(-x,0),p(x)=(x,0),a(x)=(-\infty,x)\)，这里 \((a,b)\) 表示先区间加 \(a\) 再区间与 \(b\) 取最大值。

• 考虑这种标记怎么合并。显然，\((a,b)+(c,d)=(a+c,\max(b+c,d))\)。然而这东西...似乎完全没法处理成历史标记啊？

• 显然此标记本质上是一个分段函数，第一段为 \(k=0\) 的横线，第二段为 \(k=1\) 的分段函数。分段函数合并，是容易的，取最值就好咯，即任意时刻的标记全部合并起来得到的分段函数是我们的历史标记。形式都是统一的，显然可以维护，易证结合律，这里又不求和没必要维护 \(se\) 搞 segbeats 那一套，完了，\(O(\log)\)。

• 也有相对简单一些（不需要分段函数合并）的方法。显然我们在最值操作一节谈到的方法，在本质上将最值操作转化为了加减操作，于是问题退化成 CPU 监控，但需要对最小值和非最小值分别维护一套标记和历史标记（注意，这并非我们闲得，而是因为两者的加标记并不相同，被迫为之）。

51Nod 1768 Rikka with Sequences

• 题意：对 \(a\) 支持单点修，查询 \(\sum\limits_{i=l}^r a_i\) 的历史最小值。

• 数据范围：\(n,m\leqslant 10^5\)。

• 不太传统，对吧？考虑先扔到二维平面上，单点修改变成一个左上矩形修改，即问题现在变成了矩形加，单点求历史最小值。

• 显然基于标记永久化（因而需要交换律）的线套线做不了这个。转而使用 KDT，\(O(m\sqrt{n})\)。

UOJ #169. 【UR #11】元旦老人与数列

• 题意：区间加，区间 \(chkmax\)，区间求最小值和历史最小值。

• 显然这还是可以套 V 那道题的复合标记，但这里的问题在于两个分段函数合并后的段数可能增加——炸了，乐。只能用 segbeats 转化成区间加，然后 \(O(\log^2)\) 维护。

P6242 【模板】线段树 3

• 题意：元旦老人与数列再加一个区间求和。

• 显然这就是 segbeats 本来的功能之一，简单处理即可。\(O(\log^2)\)。

区间历史和

区间历史版本和

• 我们先讨论经典操作下的区间历史版本和，然后再将它推广到最值操作上。

• 记和数组为 \(a\)，区间历史版本和为 \(b\)，设法构造一个数组 \(c\)，使得我们可以通过 \(a,c\) 快速计算 \(b\)，且 \(c\) 本身的变化量不大。

• 不妨设 \(c=b-t\times a\)，这里 \(t\) 为当前时间。显然，当 \(a\) 不变时，\(c\) 不变，且 \(b=ta+c\)，容易计算。

• 考虑 \(a\) 被修改会如何。直接算出新的 \(a\)，然后用增量法调整之，显然只要在修改中记录当前的 \(t\)，这就是可行的。

• 具体来说，记 \(a\) 变动的时间为 \(t\)，于是 \(c=b-(t-1)a\)，又 \(a'=a+x\)，\(b'=b+a'\)，故 \(c'=b'-ta'=(t-1)a+c+a'-ta'=(t-1)a+c-(t-1)a'=(t-1)(a-a')+c\)，即 \(c'=c-(t-1)x\)，这里 \(x\) 为区间变动量和（即 \(a'-a\)）。这一区间修改是容易的（不要维护这个复杂的 tag，若区间修为给原数组加 \(v\)，则相当于给 \(c\) 的“原数组”，即单点历史版本和加 \((1-t)v\)，这个 tag 显然非常可合并）。

• 复杂度 \(O(\log)\)。唔...显然，只要套用 V 中提出的转化，我们就可以以多支付一个 \(\log\) 为代价来支持最值操作。

P3246 [HNOI2016] 序列

• 参看双指针与扫描线-扫描线。事实上，历史版本和是扫描线处理矩形加矩形求和的经典实现方式之一。

P8868 [NOIP2022] 比赛

• 参看双指针与扫描线-扫描线。多序列，真（粗口）恶心。

区间历史最值和

• 即求历史最值数组的和。

• 唔...能不能推广历史版本和的方法？

• 仍然以历史最小值为例，记最小值数组为 \(a\)，历史最小值数组为 \(b\)，构造 \(c_i=a_i-b_i\)。显然 \(a\) 不变时 \(c\) 也不变，且 \(b=a-c\)，容易计算。

• 考虑 \(a\) 变动，若 \(a'<b\) 则 \(a'=b',c=0\)，否则 \(c'=c+(a'-a)\)，这是显然的。本质上，\(a'<b\)，方便起见取成 \(a'\leqslant b\) 好了，代表着 \(a'-a\leqslant b-a=-c\)，即 \(c+(a'-a)\leqslant c+-c=0\)，诶？

• 实质上就是对 \(c\) 先加 \(a'-a\)（就是修改量），然后和 \(0\) 取 \(\max\)。这一操作我们是熟悉的...由 V，如果其的询问是 \(c\) 的 \(\max\)，则我们有一个分段函数合并的 \(O(\log)\) 做法，但显然此时我们构造的 \(c\) 是用来求 \(b\) 的区间和的...如果问的是 \(b\) 的区间最值，反而做不了，因为 \(a_{\max}-c_{\max}\) 不一定恰为 \(\max (a-c)\)。

• 故还是多支付一个 \(\log\) 转化成区间加减解决，由此我们有了一个 \(O(\log^2)\) 的做法。历史最大值也一样，只是 \(chkmax\) 变成 \(chkmin\) 罢了（当前减去历史最大值总应该是非正的）。

• 到这我们谈的都是简单加减。显然，对最值操作，也是可以的，只要拆成加减...诶？注意到我们先前之所以是 \(\log^2\)，是因为总体上发出了一个最值操作。这里我们在把对原数组的最值操作拆成加减操作之后，对 \(c\) 数组的最值操作才发出，且可能是各不相同的（转化成的加减操作的变化量取决于原本的区间最值），故会发出 \(O(\log)\) 个最值操作，由此可以看出 \(k\) 层嵌套会导致 \(k-1\) 次拆解和一次 \(\log^2\)，实际效果为 \(O(\log^{k+1})\)，不过实际上我并不理解怎么继续嵌套（呃呃，题目里就定义一个 \(c\)，然后对 \(c\) 求区间历史最值和？这是手动嵌套呀），且我不理解论文里的 \(2^k\) 从何而来。

• 不过，到这里，我们的 segbeats 科技，可以说是点完了。剩下的，主要是在实践中运用和积累经验了。撒花？