动态规划
动态规划
分析流程
- 递推(递归+记忆化)
- 状态定义
opt[n] - 状态转移方程
opt[n]=best_of(opt[n-1],opt[n-2]...) - 最优子结构
爬楼梯
题目来源
解题思路
- 方法一
定义状态f[n]表示n阶台阶的总走法数，则状态方程为f[n]=f[n-1]+f[n-2] n>=2
精简解题
func climbStairs(n int) int {
d := make([]int, n+1)
d[0],d[1] = 1,1
for i := 2; i <= n; i++ {
d[i] = d[i-1] + d[i-2]
}
return d[n]
}
爬楼梯
题目来源
解题思路
-
方法一
dfs+剪枝定义 -
方法二
定义状态dp[i,j]表示底部到达点(i,j)时所走路径最少，则状态方程为dp[i,j] = t[i][j] + min(dp[i+1,j],dp[i+1,j+1])
精简解题
//代码将二维转换为一维的数组进行求解，应为状态方程中可以复用数组
func minimumTotal(triangle [][]int) int {
m := len(triangle) - 1
if m < 0 {
return 0
}
dp := triangle[m]
for m > 0 {
for i := 0; i < len(triangle[m-1]); i++ {
dp[i] = triangle[m-1][i] + Min(dp[i], dp[i+1])
}
m--
}
return dp[0]
}
func Min(a, b int) int {
if a < b {
return a
}
return b
}
最大连续乘积
题目来源
LeetCode 152.Maximum Product Subarray
解题思路
-
方法一
递归+剪枝 -
方法二
定义状态dp[i][0]和dp[i][1]分别表示0到i-1时最大连续乘积和最小连续乘积,则状态方程为dp[i+1][0] = max(dp[i][0]*t[i],dp[i][1]*t[i],t[i]);dp[i+1][1] = min(dp[i][0]*t[i],dp[i][1]*t[i],t[i]);
精简解题
//由于只有前后依赖，因此使用单变量替代数组
func maxProduct(nums []int) int {
if len(nums) == 0 { return -1 }
currentMax := nums[0]
currentMin := nums[0]
finalMax := nums[0]
for i := 1; i < len(nums); i++ {
tmp := currentMax
currentMax = max(nums[i], max(currentMax*nums[i], currentMin*nums[i]))
currentMin = min(nums[i], min(tmp*nums[i], currentMin*nums[i]))
if currentMax > finalMax {
finalMax = currentMax
}
}
return finalMax
}
func max(a, b int) int {
if a > b {
return a
}
return b
}
func min(a, b int) int {
if a < b {
return a
}
return b
}
股票买卖问题
一次股票买卖问题
题目
给你一个数组，第i个元素代表某个股票第i天的价格，现在只允许你交易一次，请给出算法实现最大收益。交易只有一次，即只允许买入和卖出各一次，并且必须先买入后卖出。
思路
要求一次交易的最大收益，实质寻早最大值和最小值，但最大值一定是最小值之后的，因此考虑使用栈的思想
代码
//这了做了优化，没有使用栈的方法
func maxProfit(p []int) int{
ret := 0
tmp := 0
for i:=1;i<len(p);i++{
tmp += p[i]-p[i-1]
if tmp < 0 {
tmp = 0
} else {
ret = Max(tmp,ret)
}
}
}
func Max(a,b int) int{
if a<b {
return b
}
return a
}
题目
给你一个数组，第i个元素代表某个股票第i天的价格，现在只允许你交易多次，请给出算法实现最大收益。注意每次交易只允许买入或卖出一次，并且必须先买入后卖出。
思路
没有次数限制，则将所有正向收益累计就可以了
代码
func maxProfit(p []int) int{
ret := 0
for i=1;i<len(p);i++{
if p[i]-p[i-1] > 0 {
ret += p[i]-p[i-1]
}
}
return ret
}
题目
给你一个数组，第i个元素代表某个股票第i天的价格，现在只允许你最多交易2次，请给出算法实现最大收益。注意每次交易只允许买入或卖出一次，并且必须先买入后卖出。
思路
基本思路:只允许两次，在可以根据日期来划分两次交易，即第i天之前交易一次，i天之后交易一次，两次交易都找最大单次交易收益，然后求和比较，获得最佳值。
动态规划设计:dp[i]表示0-i交易一次的最大收益值，dp2[i]表示i到n之间交易一次的最大收益，则只允许交易两次的最大收益为max(dp[i]+dp2[i]),0<=i<=n
代码
func maxProfit(p []int) int{
if len(p)<2 {
return 0
}
n := len(p)
dp := make([]int,n)
dp2 := make([]int,n)
curMin := p[0]
for i:=1;i<n;i++{
curMin = Min(curMin,p[i])
dp[i] = Max(dp[i-1],p[i]-curMin)
}
//倒着计算dp2
curMax := p[n-1]
for i:=n-2;i>=0;i--{
curMax = Max(curMin,p[i])
dp2[i] = Max(dp2[i+1],curMax-p[i])
}
ret := 0
for i:=0;i<n;i++{
ret = Max(ret,dp[i]+dp2[i])
}
return ret
}
题目
给你一个数组，第i个元素代表某个股票第i天的价格，现在只允许你最多交易2次，请给出算法实现最大收益。注意每次交易只允许买入或卖出一次，并且必须先买入后卖出。
思路
动态规划:
- 维度选择
- 状态值定义
- 状态转换方程
1维无法完成状态的定义,因为我们会丢失已经交易次数以及当前是否拥有股票的状态,因此我们需要使用局部最优和全局最优的状态迭代来表示.
转态定义
local[i][j]:表示前i天进行了j次交易，并且第i天进行了第j次交易的最大化利润
global[i][j]:表示前i天内交易j次后，获得的最大收益
状态方程
-
diff=p[i-1]-p[i-2] -
local[i][j]=max(global[i-1][j-1]+max(diff,0),local[i-1][j]+diff) -
global[i][j]=max(local[i][j],global[i-1][j])
状态方程说明
-
diff的含义，即当前价格减去昨天的价格
-
当前局部最优值的来源一是局部是i-1天内进行j-1的全局最优加上今天和昨天的正向收益，或者是i-1天已经实现最终交易j次的情况下再买入今天的股票的收益
-
全局最优当然是i天内j次交易的局部最后和i-1天内j次交易的最大值
最终结果
求global[n][k]的值,n表示总天数,k表示总的交易数
代码
func maxProfit(k int,p []int) int{
if len(p)<2 || k<=0 {
return 0
}
local:= make([][]int,len(p)+1)
global := make([][]int,len(p)+1)
for i:=0;i<len(p)+1;i++{
local[i] = make([]int,k+1)
global[i] = make([]int,k+1)
}
for i:=2;i<=len(p);i++{
for j:=1;j<k;k++{
diff := p[i-1] - p[i-2]
local[i][j] = Max(global[i-1][j-1]+Max(diff,0),local[i-1][j]+diff)
global[i][j] = Max(global[i-1][j],local[i][j])
}
}
return global[len(p)][k]
}
题目
给你一个数组，第i个元素代表某个股票第i天的价格，现在只允许你任意次交易，请给出算法实现最大收益。
注意交易需要满足一下规则
- 每次交易只允许买入或卖出一次，并且你应当在你买入前卖出你拥有的股票
- 每当你卖出股票后，不能再买入第二天的股票
思路
此题需要维护三个一维数组buy, sell，和rest。其中：
buy[i]表示在第i天之前最后一个操作是买，此时的最大收益。sell[i]表示在第i天之前最后一个操作是卖，此时的最大收益。rest[i]表示在第i天之前最后一个操作是冷冻期，此时的最大收益。
我们写出递推式为：
buy[i] = max(rest[i-1] - price, buy[i-1])
sell[i] = max(buy[i-1] + price, sell[i-1])
rest[i] = max(sell[i-1], buy[i-1], rest[i-1])
上述递推式很好的表示了在买之前有冷冻期，买之前要卖掉之前的股票。
一个小技巧是如何保证[buy, rest, buy]的情况不会出现，这是由于buy[i] <= rest[i]， 即rest[i] = max(sell[i-1], rest[i-1])，这保证了[buy, rest, buy]不会出现。另外，由于冷冻期的存在，我们可以得出rest[i] = sell[i-1]，这样，我们可以将上面三个递推式精简到两个：
buy[i] = max(sell[i-2] - price, buy[i-1])
sell[i] = max(buy[i-1] + price, sell[i-1])
代码
func maxProfit(p []int) int{
buy,pre_buy,sell,pre_sell := -99999999999,0,0,0
for i:=0;i<len(p);i++{
pre_buy = buy
buy = Max(pre_sell - p[i],pre_buy)
pre_sell = sell
sell = Max(pre_buy + p[i], pre_sell)
}
return sell
}
硬币转换
题目
解题思路
- 暴力求解
- 贪心,存在错误
- 动态规划:
dp[i]定义为转换硬币i需要的最少个数,则转换方程为dp[i]=Min{dp[i-coin[j]]}+1;0<=j<len(coin)
代码
func coinChange(coins []int, amount int) int {
dp := make([]int, amount+1)
for i := 1; i <= amount; i++ {
dp[i] = amount+1
for _, coin := range coins {
if i >= coin {
dp[i] = min(dp[i], dp[i-coin]+1)
}
}
}
if dp[amount] > amount {
return -1
}
return dp[amount]
}
func min(x, y int) int {
if x < y {
return x
}
return y
}
编辑距离
题目
解题思路
-
暴力求解
-
动态规划:
dp[i][j]定义为字符串A[0...i]与字符串B[0...j]的最小编辑距离，则转换方程为dp[i+1][j+1]=dp[i][j] if a[i]==b[j]
dp[i]=1+Min{dp[i][j],dp[i+1][j],dp[i][j+1]} if a[i]!=b[j],对应增删改
代码
func minDistance(word1 string, word2 string) int {
n, m := len(word1), len(word2)
dp := make([][]int, n+1)
for i := 0; i <= n; i++ {
dp[i] = make([]int, m+1)
}
for i := 0; i <= n; i++ {
dp[i][0] = i
}
for j := 0; j <= m; j++ {
dp[0][j] = j
}
for i := 0; i < n; i++ {
for j := 0; j < m; j++ {
if word1[i] == word2[j] {
dp[i+1][j+1] = dp[i][j]
} else {
dp[i+1][j+1] = 1 + min(dp[i][j], dp[i][j+1], dp[i+1][j])
}
}
}
return dp[n][m]
}
func min(nums ...int) int {
min := math.MaxInt32
for _, num := range nums {
if min > num {
min = num
}
}
return min
}
正则表达式匹配
题目
LeetCode 10. Regular Expression Matching
解题思路
- 暴力求解
- 动态规划:
dp[i][j]定义为字符串S[0...i]与匹配模型串P[0...j]，则转换方程分析如下
-p[j]为字母时，p[j]==s[i]则dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
-p[j]为点号时，p[j]=='.'则dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
-p[j]为星号时，存在p[j-1]=='.'或者p[j-1]==s[i]则此次星号提供一次匹配，等式继续转化为子问题，dp[i][j] = dp[i-1][j]
-p[j]为星号时，存在p[j-1]!=s[i]则此次星号不提供匹配，dp[i][j] = dp[i][j-2]
代码
func isMatch(s string, p string) bool {
if p == "" {
return s == ""
}
sLen, pLen := len(s), len(p)
match := make([][]bool, sLen+1)
for i := 0; i < sLen+1; i++ {
match[i] = make([]bool, pLen+1)
}
// 初始化
match[0][0] = true
for i := 2; i < pLen+1; i++ {
if p[i-1] == '*' {
match[0][i] = match[0][i-2]
}
}
for i := 1; i < sLen+1; i++ {
for j := 1; j < pLen+1; j++ {
if s[i-1] == p[j-1] || p[j-1] == '.' {
match[i][j] = match[i-1][j-1]
} else if p[j-1] == '*' {
match[i][j] = match[i][j] || match[i][j-2]
if s[i-1] == p[j-2] || p[j-2] == '.' {
match[i][j] = match[i][j] || match[i-1][j]
}
}
}
}
return match[sLen][pLen]
}
