LCS原理复习◆wm◆

X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xij。例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。
同理，若序列Z既是X的子序列同时也是Y的子序列，则称Z为X和Y的公共子序列。其中最长的子序列称为最长公共子序列。
在求最长公共子序列中，我们可以看出如下规律：
设序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}的最长公共子序列为Z={z1,z2,…,zk} ，则

1. 若xm=yn，则zk=xm=yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最长公共子序列。 
2. 若xm≠yn且zk≠xm，则Z是xm-1和Y的最长公共子序列。(即：Z是X序列中前m个元素所组成的序列与Y序列的最长公共子序列) 
3. 若xm≠yn且zk≠yn，则Z是X和yn-1的最长公共子序列。(即：Z是Y序列中前n个元素所组成的序列与X序列的最长公共子序列) 

由上面三个条件可得如下公式：
C[][]用来记录最长公共子序列的长度，则：
c[i][j] = <1> 0; (当i、j = 0时)；
<2> c[i-1][j-1] + 1; (当i、j > 0 且 Xi = Yj时)(即第i个X序列元素与第j个Y元素相等)
<3> max(c[i][j-1] , c[i-1][j]) (当i、j > 0 且 Xi != Yj时)（当Xi与Yj不等时，取两个式子的最大值，若两者相等则默认取第一个）